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in ©. Ed, o siffatte combinazioni ci condurranno costantemente al gruppo A, e il 
gruppo € sarà semplice, 0 giungeremo a gruppi minori di A, e ad ognuno di que- 
sti corrisponderà un sottogruppo eccezionale di ©. Tal sottogruppo sarà poi com- 
posto delle sostituzioni di € le quali all’ elemento @ subordinano gli elementi ad 
esso subordinati nelle sostituzioni del gruppo generato. 
I sottogruppi di A generati da (E) e da sostituzioni d’ordine primo del gruppo €, 
in tanto ci abbisognano, in quanto essi ci manifestano gli elementi che le loro so- 
stituzioni subordinano ad a, vale a dire, la serie di elementi contenente & e rispetto 
alla quale, il sottogruppo intermedio generato, sia quello che è formato con tutte 
le sostituzioni di A le quali trasformano la serie in sè medesima. Per lo scopo che 
noi abbiamo di mira, non sarà adunque necessario formare esplicitamente i gruppi 
generati da (E) e da sostituzioni R d’ ordine primo contenute in €, ma potremo li- 
mitarci a formare la già menzionata serie relativa al gruppo | (E), R |. Ora, a sta- 
bilire quest’ultima, vale a dire quella serie che contiene a e che le sostituzioni di R 
e di (E) trasformano in sè stessa, si procederà senza incertezza nel modo seguente: 
Si noterà la serie degli elementi che la R e le potenze di R subordinano ad a. Se 
le sostituzioni di (E) trasformeranno questa serie S' in sè medesima, ci arresteremo, 
altrimenti amplificheremo la serie S', aggiungendole tutti gli elementi che le so- 
stituzioni di (E) subordinano agli elementi di S', e la serie S' e quella dei nuovi 
elementi aggiunti formeranno un ciclo chiuso S” consistente in una serie che il 
gruppo (E) trasformerà in sè medesima. Se anche R trasformerà S” in sè medesima, 
ci arresteremo, altrimenti aggiungeremo ad S" gli elementi che R, e le potenze di R 
subordinano ad elementi di S", poi quelli che le E subordinano ai nuovi elementi 
aggiunti, e c. s. Così continueremo fino a che non perverremo ad una serie Sl 
inalterabile tanto per la sostituzione R, quanto per le sostituzioni del gruppo (E). 
E allora, le sostituzioni di © le quali all'elemento @ della serie S°'?/? subordineranno 
i singoli elementi della Sl” medesima, formeranno un sottogruppo eccezionale di €, 
corrispondente alla sostituzione R di ordine primo contenuta in ©. 
Osservazione. — Distribuendo le sostituzioni di un dato gruppo in sistemi di 
sostituzioni tra loro affini, (gleichberechtigten Substitutionen), ossia in sistemi otte- 
nuti trasformando le singole sostituzioni del gruppo mediante ciascuna di esse, 
scrivendo in seguito i gruppi generati dalle sostituzioni affini dei singoli sistemi, si 
addiverrebbe alla scoperta dei sottogruppi eccezionali minimi ('). Ma la formazione 
di gruppi generati da sistemi di sostituzioni affini dipende in generale da tentativi. 
Il metodo esposto raggiunge lo scopo con sicurezza, ed avuto riguardo alla difficoltà 
del problema (*), abbastanza agevolmente. 
(‘) Veggasi l'importante e già citato lavoro del sig. Walther Dyck, Veber die Zusammensel- 
zung ecc. nel quale l’autore stabilisce un’algoritmo per la ricerca dei sottogruppi eccezionali di un 
gruppo, definito da una serie di congruenze fra simboli di operazioni, canonizzando così, come egli 
stesso si esprime, la difficoltà del problema in quella della ricerca delle congruenze caratteristiche, 
e delle espressioni dei sistemi di sostituzioni affini. 
(@) La cagione di tale difficoltà risiede principalmente in ciò, che il gruppo si suppone cognito 
sol perchè scritto, si fa cioè astrazione dalle proprietà caratteristiche del medesimo, e da qualsivo- 
glia conseguente definizione sintetica. 
