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Poichè l’ordine di (E) è minore di 8, il gruppo dato sarà composto. Si potrà 
tuttavia applicare il processo dell’ esempio precedente, e combinando successivamente 
il gruppo: 
1, (45)(68), (23)(68), (23)(45) 
colle sostituzioni d’ordine primo: €, €3, ©,, ©s, €7, e chiamando: 
(E, ©9), (E, ©3), OMO ROMINA (E, Cn), 
i sottogruppi eccezionali (dati mediante le loro serie) corrispondenti a ciascuna com- 
binazione, avremo : 
Otterremo così tre sottogruppi eccezionali, vale a dire, i sottogruppi: 
(61, Ea; 3, Em) (61, E, E, E), (61, ©). 
Un altro sottogruppo eccezionale si otterrebbe combinando il gruppo (E) con 
©g, ma questo gruppo è in qualche modo estraneo al nostro problema che abbiamo 
limitato alla sola questione circa la semplicità o la composizione del gruppo. 
Semplificazioni al metodo precedente ('). Il metodo precedente si riduce in so- 
stanza a determinare per ogni gruppo d’ordine primo esistente nel gruppo regolare, 
un sottogruppo eccezionale contenente quel gruppo. Poichè, se il sottogrpppo ecce- 
zionale coincida costantemente con il dato gruppo regolare €, quest’ ultimo sarà 
semplice. Ora, se un sottogruppo eccezionale di € contiene un certo gruppo, esso 
conterrà altresì ogni altro gruppo affine a questo, e viceversa. Apparisce così ma- 
nifesto che: nel combinare il gruppo (E) con tutte le sostituzioni d’ordine primo 
contenute in €, basterà limitarsi ad una soltanto di tutte quelle le quali costitui- 
scano un sistema di sostituzioni affini. Ora, quando si supponga data la forma po- 
tenziale come nei precedenti esempî, i sistemi d’indici di sostituzioni affini, saranno 
dati immediatamente dai sistemi di intransitività del gruppo (E). 
Il metodo precedente si semplifica ulteriormente quando del gruppo regolare si 
conosca un sistema di sostituzioni generatrici. L'uso al quale il gruppo (E) viene 
(') A meglio chiarire l’entità dell’ esposto metodo, avvertiremo che esso è anche suggerito dalla 
seguente osservazione: Se una serie o d’indici (incluso un’ indice arbitrario ad es. quello della sostitu- 
zione identica come nei precedenti esempî) rappresentanti elementi della forma potenziale di un 
gruppo, è trasformata transitivamente in sè medesima da un sistema di sostituzioni potenziali, quest’ul- 
time formeranno un gruppo, del quale gl’indici della serie gl’ indici cioè che il sistema subordina 
all'indice 1 della sostituzione identica, dinoteranno le-sostituzioni. Ma se oltre a ciò il gruppo (E) 
il quale, come nei precedenti esempî, non isposta l'indice della sostituzione identica, trasformerà la 
serie o in sè medesima, le sostituzioni potenziali sopra dette formeranno un sottogruppo eccezio- 
nale, perchè il gruppo (E) subordina ad ogni indice di sostituzione tutti quelli delle affini. Ora, se una 
serie o è la minima che sia trasformata in sè stessa da un sistema R di sostituzioni di © (ad es. da una 
sostituzione d'ordine primo o no) e dal gruppo (E), essa sarà altresì trasformata in sè medesima dal 
gruppo generato da (E) e dal sistema, e, per conseguenza, tutte quelle sostituzioni &v,, ©v,;--. del 
gruppo potenziale, per le quali conviene successivamente moltiplicare le sostituzioni di (E) affine di 
ottenere quelle del gruppo generato, trasformeranno la o in sè medesima transitivamente. Le so- 
stituzioni : €, , €v,... le quali per mezzo degli elementi che subordinano all’elemento 1 indicano 
appunto gli elementi della serie +, costituiscono, per conseguenza, un sottogruppo eccezionale del 
gruppo potenziale. 
