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Combineremo. adunque quest’ ultima terna con le sostituzioni potenziali di G 
corrispondenti alle rappresentatrici d’ordine primo di sistemi di sostituzioni affini. 
Tali sarebbero le sostituzioni: €13, €, €202. Combinando le (E) con €13 otteniamo 
il gruppo dato come eccezionale di sè medesimo. Combinandole con €; otteniamo il 
gruppo pari rappresentato dalla serie: 1, 2, 3,....12. 
Combinandole finalmente con €9° otteniamo il gruppo: (T1, Ta, Tg, Ti) rap- 
presentato dalla serie: 1, 4, 9, 11. 
Problema. Dato un gruppo qualsivoglia, riconoscere se una certa 
sostituzione S sia o no contenuta in gruppi eccezionali del me- 
desimo. 
Risoluzione. Distribuiremo le sostituzioni del gruppo dato in 
sistemi 9 di sostituzioni affini. Scriveremo in una prima linea le 
sostituzioni di quello fra i sistemi $ che contiene la sostituzione S. 
Scriveremo in una seconda linea i prodotti delle successive sosti - 
tuzioni della prima per le successive potenze di S arrestandoci, 
per ogni sostituzione della prima linea, alla massima potenza di S 
alla quale corrisponda un prodotto non ancora scritto sia nella 
prima sia nella seconda linea. Formeremo poi una terza linea con 
tutte le sostituzioni non ancora scritte e complementari in sistemi 3 
a quelle della seconda. Dalla terza, per moltiplicazione, derive- 
remo una quarta linea come dalla prima derivammo la seconda, 
dalla quarta una quinta come dalla seconda la terza, e c. s. 
Chiuso il ciclo delle operazioni, se le sostituzioni scritte in 
tutte le linee formeranno l’intero gruppo dato, la sostituzione S 
non apparterrà a sottogruppi eccezionali. Nel caso contrario, le 
sostituzioni scritte formeranno un sottogruppo eccezionale del 
quale farà parte la sostituzione S. 
La descritta operazione equivale infatti per isomorfismo a quella descritta nel 
precedente problema, per mezzo della quale si riconoscerebbe se la sostituzione po- 
tenziale della S appartenga o no a sottogruppi eccezionali del gruppo potenziale 
isomorfo al gruppo dato. 
Problema. Riconoscere se un dato gruppo sia semplice o composto. 
Toglieremo una sostituzione da ognuno dei sistemi S formati con sostituzioni 
d’ ordine primo, e mediante l’ operazione sopra descritta riconosceremo se essa appar- 
tenga o no a sottogruppi eccezionali. 
Problema. Riconoscere se un dato gruppo transitivo sia o no 
primitivo. 
Combineremo il gruppo delle sostituzioni le quali non ispostano un elemento ar- 
bitrario a con una delle sostituzioni che ad @ subordinano d, poi con una di quelle 
che ad @ subordinano c, e c. s., a fine di formare per ogni combinazione la mi- 
nima serie contenente a ed inalterabile tanto per il gruppo delle sostituzioni che non 
ispostano a quanto per la sostituzione che si combina con questo gruppo. Se la sopra 
detta serie minima coincida costantemente con l’ intera serie degli elementi del gruppo, 
quest’ ultimo sarà primitivo, nel caso contrario esso sarà imprimitivo. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc — MeMorIE — Von, XVIII. 65 
