Le curve limite di una varietà data di curve. 
Memoria del prof. G. ASCOLI 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 3 febbraio 1884. 
INTRODUZIONE 
Desideroso di occuparmi con qualche cura della teorica delle funzioni a più 
variabili, cominciando da quella di due, mi pare conveniente il far precedere a tale 
studio alcune ricerche preliminari. Fra queste sono da porsi le seguenti : 
I. Un’ esatta definizione del concetto di curva piana ed uno 
studio delle proprietà di quest’ultima. 
II. La ricerca delle curve limite di una varietà data di curve. 
Il primo di questi problemi non mi sembra superfluo, poichè, a mio credere, non 
è ancora ben definito il concetto di curva piana, quando si prenda nel suo significato 
più generale. 
I due problemi enunciati sono il soggetto di questo lavoro, che è quindi diviso 
in due parti, l’una riguarda il primo quesito, 1’ altra il secondo. i 
Nel capitolo I della prima parte chiamo ramo di curva di prima classe una 
varietà di punti che risponde a quattro caratteristiche @, #8, y, È, l’una indipendente 
dall’ altra nell’ ordine enunciato. Definisco quindi nel capitolo ‘successivo il ramo di 
curva di classe r(>1) e quello di classe non assegnabile. 
La definizione data nel cap. I non è la più generale ('), è però, a mio credere 
almeno, sufficiente ad uno studio accurato delle funzioni a due variabili. 
Sebbene le proprietà contenute nei capitoli ITI e IV sieno così note da sembrare 
del tutto superflua la loro esposizione, tuttavia non volli tralasciare di occuparmene, 
perchè mi parve opportuno il far vedere come esse si deducano soltanto dalle carat- 
teristiche del ramo di prima classe. I capitoli successivi della prima parte non de- 
meritano forse di essere considerati. 
La seconda parte di questo lavoro mi sembra di qualche importanza tanto in 
sè quanto per le deduzioni che se ne può trarre nella teorica delle funzioni a due 
variabili. Essa contiene in germe, se pur non mi illudo, un metodo pel, Calcolo delle 
Variazioni forse più esatto dell’ ordinario (°). 
In calce alla Memoria ho aggiunto delle Note che sono di complemento ad 
alcune tra le ricerche della medesima. 
(') Nella prima delle Note do una definizione più generale. 
(°) Mi piace l’ osservare che, se per avventura il presente lavoro contiene qualche concetto 
interessante, esso va cercato principalmente in questa Parte. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MEMORIE — Vol. XVIII. 66 
