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PARTE PRIMA 
sul concetto di curva piana a distanza finita. 
I. Del rumo di curva di prima classe. 
1. Diremo ramo di curva di prima classe 0 più semplicemente ramo di prima 
classe od anche ramo soltanto un sistema di punti sito in un piano e dotato delle 
seguenti proprietà : 
x Che si possa assegnare un segmento di retta ab tale, che in 
ciascuno dei suoi punti si projetti ortogonalmente un punto solo 
dell’insieme dato. 
I punti che si projettano in @ ed in d si diranno gli estremi del ramo. Assunta 
la retta ab per asse X ed una normale alla medesima per asse Y, la varietà con- 
siderata da origine ad una funzione y=f(@) definita in ciascun punto di ab. La 
imagine di una funzione eguale ad uno in ogni punto di ascissa commensurabile del- 
l’intervallo ab ed a due in ognuno degli altri determina un aggregato di punti che 
soddisfa alla condizione «. 
BENIÙ complesso dato abbia in ciascun punto che si projetta 
tra a e d (') una tangente anteriore o posteriore. 
Dicendo la varietà data ammette in un suo punto particolare (e, y) (A << bd) 
una tangente anteriore, voglio significare che la retta, la quale congiunge i due 
elementi (2, 7) (2 + A, y+k) (h>0) dell’insieme considerato, tende ad una po- 
sizione limite all’annullarsi della quantità h. Se quest’ultima fosse negativa, direi 
che il complesso proposto ha una tangente posteriore nel punto (@, y). Nel nostro 
caso dico poi che una retta tende ad una posizione limite quando, uscendo sempre 
da uno stesso punto, si può tracciare per quest’ultimo una retta in guisa, che l’an- 
golo della prima con la seconda sia infinitesimo con A. 
Se consideriamo i punti pei quali y +(@ —1)?=1 (y=0) (°), tolti quelli 
le cui ascisse sono della forma 127° (n=1, 2, 8,....), ove la quantità y sia 
eguale a due (*), otterremo un aggregato che soddisfa alla condizione « ma non alla 
condizione {8, perchè nel punto (1, 1) non ha una tangente anteriore o posteriore. 
Se però la eccezione fosse soltanto pei punti di ascissa 1 — 27" (= Goscdh 
sarebbe soddisfatta la condizione 8 rispetto alla tangente anteriore. 
(') Cioè nel tratto a-+-0 db —0. 
(*) Il supporre note la retta e la circonferenza nonchè le loro rappresentazioni analitiche non 
lede manifestamente la generalità delle nostre ricerche. i 
(*) La quantità y è eguale ad uno nel punto 2=1, perchè la espressione 1-27 non raggiunge 
per nessun valore intero di n il valore uno. 
