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punto di ascissa due non mantenendo lo stesso segno. Un arco qualsivoglia di una 
circonferenza non maggiore della sua metà dà origine ad un ramo di curva. 
La proprietà « può essere soddisfatta mentre non lo sono le altre tre; così pure 
possono essere soddisfatte le due prime e non le due ultime, le tre prime e non la 
quarta. 
Sotto questo punto di vista le condizioni %; b:5% ò sono traloro 
indipendenti, esse si diranno le caratteristiche del ramo di curva di prima 
classe. 
Adunque una varietà di punti nel piano costituirà un ramo solo nel caso in cui 
sieno soddisfatte le quattro condizioni accennate. 
Si dirà poi ramo elementare un ramo di curva non sito sopra e sotto al- 
l’asse X di cui la derivata prima non muta segno ed è ognora crescente o decre- 
scente, quando non mantenga lo stesso valore. È manifesto che un ramo si scinde 
in un numero limitato di rami elementari. 
Si avrebbe potuto definire più semplicemente il ramo di prima classe dicendo 
che è l'insieme dei punti imagine della equazione y=f(x), essendo la f(x) una 
funzione continua nel tratto ab e dotata di una derivata anteriore o posteriore nel- 
l'intervallo a-+0 bd —0, scevra da infiniti massimi e minimi e continua, tolto un 
numero limitato di punti in ciascuno dei quali va da ambo le parti all’infinito man- 
tenendo lo stesso segno. La funzione /"(x) non dee avere un valore costante in un 
numero illimitato di parti tra loro sconnesse del segmento ad (').. 
IT. Del ramo di curva di classe r(>1) e di classe non assegnabile. 
1. Se oltre ad essere soddisfatte le condizioni @,,y,ò il simbolo f"(x) rap- 
presenta una funzione continua generalmente parlando nel tratto ab, cioè tale senza 
escludere una eccezione per un numero limitato di punti, in guisa, che il segmento 
ab possa dividersi in un numero assegnabile di parti entro ciascuna delle quali la 
f(x) sia crescente o decrescente oppure costante, il ramo y=f(x) si dirà della se- 
conda classe. Se poi anche il segno /"(x) ha delle proprietà analoghe a quelle del- 
l’altro /"(x), il ramo considerato si dirà della terza classe, e così via. È manifesto 
che il ramo y=f(x) potrà essere di classe non assegnabile. 
Un ramo della classe rt si dirà elementare quando nessuna delle derivate 
f(x) (t=0,1,2,...,7) assume valori positivi e negativi, mentre la funzione 
f(x) è sempre crescente o decrescente, quando non sia ognora costante. Ne conse- 
gue che altrettanto avviene di ciascuna delle espressioni f(x), fl®(2),.., 
f'(@), f(@). È manifesto poi che un ramo della classe r& si può decomporre in un 
numero limitato di rami elementari della stessa classe. 
Un ramo di classe non assegnabile si dirà elementare in un tratto ab, quando 
esso sia un ramo elementare della classe »2 in ab, essendo r numero fisso 
(') V. la Nota I. 
