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Di conseguenza: 
n(n+1)(n+2).... (n+4+2s—1)? _ 
lim YX —=0, 
i O TIRERaae® 
come pure 
lim ss È (n+4+1) (n4-2)....(n+4+2s—1) Zi: 
n=% 1 PRO ZAND (n+4+1)f 
Ogni derivata di ordine pari è nelle estreme vicinanze del punto +0 negativa, 
LI x . . . . . L 
cioè in un tratto della forma 0,, la quantità e, essendo infinitesima con i mentre 
a destra del punto e, essa è positiva, purchè la grandezza e, sia scelta in modo 
conveniente. 
Un punto di discontinuità della funzione f((x) appartiene anche all’ altra f(1) (2), 
quando il ramo contemplato non sia di classe inferiore alla (r+1)t. Il numero delle 
discontinuità della f(x) è quindi una funzione g(r) scevra da infiniti massimi e 
minimi, la quale di conseguenza tende ad un limite oppure va all’infinito con r, se 
il ramo dato non è di classe assegnabile. 
Ora, ammesso che avvenga il primo caso, consideriamo un tratto pg di ab, in 
cui la espressione f(x) sia continua per ogni valor particolare dell’intero r. In tale 
ipotesi la funzione f(x) sarà finita nell’intervallo pg, qualunque sia il numero r, 
oppure ciò non ha luogo; valgano ad esempio rispettivamente le funzioni e? ed 
a"(a>e) in un tratto qualsivoglia. 
2. Non credo inopportuno il rammentare il teorema: 
Se f(x) è una funzione continua nel tratto pq insieme ad ogni 
sua derivata, mentre non può determinarsi un punto di pq in cui 
da un numero assegnabile m sia AM—=f@4®)_...=0, sarà la /(2) sce- 
vra da infiniti massimi e minimi e così pure ogni sua derivata. 
Indico con k(21) il minimo numero superiore a zero pel quale la quantità /((x1) 
non è nulla, essendo x, un punto determinato del segmento pg scelto del resto ad 
arbitrio. Ciò posto, si può fare 
I hi-1 (K) hl: het (n) h (n+41) 0) 
f' (c+H4)= Lea EE ca ARTI) Tani) f(d21)+ it DE 
en k-1 i +1 (n41) 
Se il a xi è de ‘interno dell’intervallo pg la nie h potrà essere posi- 
tiva o negativa, se ad uno degli estremi di un segno soltanto. 
Ora, ove la f(x) fosse dotata di un numero illimitato di massimi e minimi, io 
potrei assegnare un punto x' in pq nelle estreme vicinanze del quale essa ne avrebbe 
un numero non assegnabile, mentre la /'(x) si annullerebbe tante volte quanto si 
vuole. Nel punto 2" non reggerebbe quindi lo sviluppo che precede; l’asserto è 
dunque vero per la funzione data, ed in modo analogo si dimostra per ogni derivata. 
È chiaro poi che nessuna delle funzioni f(0(x) ((=0,1,2,3,..) ha un va- 
lore costante in una parte di pg. 
Nelle ipotesi nel nostro teorema la relazione y=f(x) rappresenta un ramo di 
curva di classe non assegnabile nel segmento pgq. 
