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Ha luogo anche la proposizione: 
Se f(x) è una funzione continua nel tratto pg insieme alle de- 
rivate f(x) (lE=1,2,..., n), e se non può assegnarsi un punto in 
guisa, che tutte le quantità /Ma)(E=1,2,..,n)sieno nel medesimo 
nulle, sarà essa priva da infiniti massimi e minimi. 
Infatti, se l’asserzione non fosse vera, esisterebbe un punto ' del tratto pq 
nelle estreme vicinanze del quale la /(x) sarebbe dotata di un numero illimitato di 
massimi e minimi. Ora, la quantità /'(2') è o meno diversa dallo zero; nel primo 
caso la f(x) è crescente o decrescente nel punto #’, nel secondo, detta /()(x) (2 <&k<"n) 
la prima delle derivate che non si annulla in a’, si avrà 
hi (& 
+= TE ((+9= {5 DEI (f+ (a, DD) 
La grandezza /©(x') non è per ipotesi nulla, e la quantità e(2', 4) è di quella 
piccolezza che si vuole da valore opportuno di 4; il secondo membro della prece- 
dente eguaglianza non va quindi a zero tante volte quanto si vuole in un tratti- 
cello contenente il punto «', la qual cosa dovrebbe pur avvenire se la (x) avesse 
infiniti massimi e minimi vicino all’elemento a'. 
Se l’intero n è maggiore di uno, le f(@) rappresenta un ramo di prima classe, 
quando tutte le funzioni /(0(@) (£=2,3,...,) non si annullino in uno stesso punto, 
ne rappresenterebbe uno di seconda, se le funzioni f(x) (£=3,4,...,) non hanno 
uno zero comune nel segmento pq ('). 
III. Alcune proprietà del ramo di prima classe. 
1. Giova studiare alcune proprietà del ramo di prima classe che sono conse- 
guenze delle caratteristiche. Suppongo per semplicità che il ramo cada nel primo 
quadrante. 
Teorema I. Se (x,y) ed (C+h,y+k)(a<@a<b) sono due punti del 
ramo dato, la quantità ci tendead unostessolimitetantoperh=+0 
che per h=—0 oppure va all'infinito. 
Questa proposizione è conseguenza evidente delle caratteristiche del ramo di 
prima classe. 
Si ha poi 
LV 
rm= fr@ada+/0) @<0<) 
perchè 1’ integrale 
tati 
J f'(a)da, 
(') Vedi la Nota II. 
