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converge per ipotesi all’annullarsi della quantità e anche se 2, è un punto di di- 
scontinuità della derivata. 
Teorema II. Un ramo raggiunge un punto M cui si accosta inde- 
finitamente. 
In altre parole, se il punto M ha la proprietà che un cerchio intorno al me- 
desimo come a centro e di raggio qualsivoglia contenga sempre un punto del ramo 
y=f(x), epperò quanti si vogliono, esso ci apparterrà pure. 
Infatti, calata da M la normale ad ab il cui piede sia m, se quest’ultimo non 
cadesse nel segmento ab oppure se cadendovi fosse f(m) = Mm, un cerchio di cen- 
tro M e di raggio abbastanza piccolo non conterrebbe un punto del ramo dato, 
contro il supposto. 
Teorema 1II. L'intervallo ab può dividersi in un numero limi- 
tato di parti entro ciascuna delle quali la funzione f(x) volge la sua 
concavità o convessità all’asse X oppure è della forma Ce+C, 
essendo C e C'due costanti. 
Sieno aa’, 2x0", ...,0®b i tratti del segmento ab in ciascuno dei quali la f'(@) 
è sempre crescente o decrescente ovvero costante in guisa, che in due intervalli con- 
.secutivi non si comporti in egual modo. Sia poi x, un punto diverso dagli elementi 
a(=%) 0 ,0,...,0®,b(=x-1)) ed appartenente ad un tratto aMxl+1 in cui 
la f'(@) è crescente. 
Ciò posto, la equazione della tangente nel punto (21 sv) al nostro ramo è 
Y-n=f" (@)X—%), 
mentre la quantità 
Yv=fA)=n+(X—s)f(c1+9X—2)) (0<9<1) 
è l’ordinata del ramo che corrisponde all’ascissa X. 
Ora, 
n+f (1) 2) <n+(—2)f (1402), 
tanto se la quantità X è maggiore quanto se è minore di x;. La diseguaglianza pre- 
cedente significa che abbastanza vicino al punto 4, le ordinate del ramo sono mag- 
giori di quelle della tangente nel punto (x1,%1). Indicheremo questo fatto dicendo 
che il ramo volge la sua convessità all’asse X nel punto 1. Si rammenti che il 
ramo considerato è sito per intero nel primo quadrante. 
La parte del ramo dato che si projetta nell’intervallo a©Mxl+!) giace del tutto 
al disopra della tangente nel punto (1,21), tolto quest’ultimo. 
Se il punto 21 fosse in un tratto #0 +0, (#1) —0 nel quale la f'(w) è decrescente 
mentre l’ascissa cresce, le ordinate della tangente sarebbero maggiori delle corrispon- 
denti del ramo presso il punto considerato, ossia il ramo volgerebbe la sua con - 
cavità alla retta y=0. In questo caso il pezzo del nostro ramo relativo all’in- 
tervallo «0x4 è del tutto al disotto della tangente in (21,71), fatta astrazione 
dell’elemento di contatto. 
Per ultimo, la f(x) è della forma Cx+C' in ogni parte di ad in cui la deri- 
vata f' (x) ha un valore costante C. 
