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Teorema IV. Il ramo y="f (2) ha un flesso in ciascun punto del 
tratto a +0 b —0 in cui la funzione f(x) ha un massimo od un mi- 
nimo oppure è scevra da significato. 
Un punto si dice di flesso quando la tangente in esso taglia il ramo. Questa 
proposizione è una conseguenza di quella che precede e della caratteristica 0. 
Teorema V. Detti m ed n» due punti del ramo considerato non 
appartenenti ad una sua parte rettilinea, i quali si projettano 
in m' ed n (m<n) sull'asse X, si tiri la retta mn e si faccia con- 
vergere il punto n’ all’altro m, in tale ipotesi la segante mn ten- 
derà alla posizione limite senza oscillare e sempre variando. 
Ed invero, abbiamo 
n 
m+h, _M+h, 
[e @Mio=Mf" (m+%M), ff @)dr=h2/" (m+-0;h) 
Mm Mm 
OZOZl, 0<MZIL >> 
Se supponiamo ora per semplicità che la derivata sia finita, crescente e positiva 
nel tratto m m-+e (e > 0), non potrà essere 
f'(m-+-9h,) <f"(m+0 ho), 
perchè, avendosi 
aMmh4y mel, ,muh, 
fia ()idae= | cs f'(a)de=haf"(m4-0 ha) +-(hy—ha)f' (mHlx+9:(Mh2)) 
DI, Sin È M+thg 
0<0<1, 
ha luogo la diseguaglianza 
f'(im+h9+-0x (h—ho)) > f'(m+01h2). 
Si ragionerebbe in modo analogo se il punto n fosse dall’altra parte di m. 
Questa dimostrazione regge anche se la derivata /' (2) fosse discontinua nel punto 
considerato. 
Teorema VI. Essendo G,(t=1,2,3,...) un gruppo di punti in ab tale, 
che le distanze di due successivi qualsivoglia si annulli con ola 
: ? () (d (0) t , E 
linea poligonale A a, di Go cv differisce tanto poco quanto 
a " (4) (0) (0) . 
sì vuole dal ramo considerato, quando A, a1, 49,...., Gr,, B sieno 
quei punti del nostro ramo che si projettano ordinatamente nell’in- 
sieme G,. - 
Infatti, la funzione f(x) è continua nel tratto ab e quindi uniformemente tale, 
ossia essa è quasi costante in una parte qualsivoglia di ab purchè abbastanza piccola. 
[ 
x 
. i t t 
Ogni punto della spezzata Nan ta a I B tende di conseguenza al 
corrispondente del ramo dato, essendo corrispondenti due punti che hanno una stessa 
ascissa. 
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