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(4) (6) (8) 
Teorema VII. Il parametro angolare delle rette Aai' 01 02,9, 
(9) (0) (8) 
Bè vicinissimo a quello delle tangenti in A, a1, @,...; @, da valore 
opportuno dell’intero ft, quando si trascurino quei tratticelli de- 
terminati dall'insieme G,, ciascuno dei quali ha amendue i suoi 
estremi discosti meno di una quantità assegnata da una discon- 
tinuità della f' (2). 
Ed invero, detto 2, un punto in cui la derivata /" (@) è continua, il parametro 
angolare della congiungente i punti (21, y1) (21+h, yi +4) è 
Pn Ie =f'(r+0h), 0<0<1, 
mentre la /" (x) è egualmente continua in ab, tolti i tratti indicati. 
Teorema VIII. La funzione arctg /' (a) è continua nell’intervallo ab 
e scevra da infiniti massimi e minimi, quando il segno arctg in- 
dichil’arcononeccedenteilimiti 45 chehaladatatangente. 
Questa proposizione è conseguenza manifesta delle caratteristiche del ramo di 
prima classe. 
IV. Della lunghezza del ramo di prima classe. 
1. Sia la f (4) sempre crescente nell’ intervallo pg del segmento ab e sia 
G; (s= 1, 2, 3,...) una serie di gruppi tali nel medesimo, che la distanza tra due 
punti consecutivi qualsivoglia si annulli con FO che ciascun elemento di un gruppo 
f (8); (9) (ORIO i ; 
appartenga al successivo. Essendo p, di ì CO vt d,,, gi punti dell’aggregato G,, 
tiro le ordinate del ramo relative a questi punti che lo incontrino in P, Do ; bi DS dor SO) 
Conduco poi per P una parallela ad ab sino ad incontrare la retta dA DI in Gio: 
per bi un’altra parallela ad ab sino all’incontro dell’ordinata de di in ci, e così 
via. Traccio quindi le rette Poi, Da DSL ed de due linee 20 
LR O toa 
la seconda delle quali è maggiore della prima. 
Se si fa crescere indefinitamente l’intero s, la prima spezzata cresce in lunghezza 
per la natura dell’insieme G,, mentre l’altra non muta, perchè eguale alla somma 
di due segmenti uno dei quali è pq e l’altro la differenza delle due ordinate del 
ramo corrispondenti ai punti p e g. La lunghezza della prima spezzata tende dun- 
A n 1 
que ad un limite all’annullarsi del quoto pi 
x ; 
