Loos 
_ )0)) 
Ed invero, divido la linea L in più parti a, 4, ...., @ ciascuna delle quali è piccola 
ad arbitrio. Considerando a partire dal capo di L posto al di sopra del nostro ramo or- 
dinatamente i varî tratti nei quali risulta divisa la linea L, non avvertirò che ciascuno 
dei medesimi è del tutto al di sopra del ramo y = f (4), ma giungerò ad un segmento @, 
che non è completamente sopra al ramo y = f (@). Col tratto a, si proceda come con la 
linea L, e così di seguito indefinitamente. Tenderò in tal guisa ad un punto che giacerà 
sul ramo dato, perchè un intervallo di L di piccolezza arbitraria che lo contiene non è 
del tutto sopra o sotto al ramo y= f (2). 
V. Come un ramo di prima classe sì comporti rispetto ad una retta qualsivoglia. 
1. Supposto che nel tratto rs (a <r <s< b) la derivata /" (2) sia positiva e cre- 
scente, sarà in esso la / (@) crescente e volgerà la convessità all’asse X in ciascun punto 
del segmento #0 s — 0. Sia ora (21, f (21)) un punto c interno al ramo elementare RS 
di cui la projezione sulla retta y= 0 è rs, e tiriamo in esso la tangente c X' di equazione 
Y_-y=f' (0) (X—1) 0 
È facile vedere che la parte RS si comporta come un ramo di curva di prima classe 
rispetto alla retta c X. 
Ed invero, l’angolo y = O0X'cX' è per ipotesi acuto. Detto poi c' un punto del 
ramo elementare considerato a destra di ec la cui ascissa sia x, la tangente c'L in 
esso incontra l’altra c X' a destra del punto c, perchè il ramo RS è tutto da una 
stessa parte della retta c'L. Di più, l’angolo OXA\cL=8 è maggiore di Yy, ed il punto 
c' cade al di sopra della retta c X'. 
Ora, detto a l'angolo X' m L, essendo m l’intersezione delle rette c X' e c'L, si ha 
ETA MCR) 
Corde Zora 
quando x’ indichi l’ascissa del punto c' rispetto ai nuovi assi ortogonali cX' e cY' 
disposti similmente ai primi. 
La funzione fi(4°) varia con continuità sempre crescendo mentre il punto (4,7) 
va da c verso S sul ramo RS, perchè l’angolo @ è ognora crescente. D'altra parte, la 
projezione del ramo c$ sopra cX' determina un segmento semplice, perchè 
a=fB—y,tga= 
cd =%4+(e— 23) c0sy+(y—%)Seny, 
tri 
e le quantità # ed 7 crescono da c verso S. 
L’integrale 
cl 
Sn@a=n 
0 
rappresenta quindi un ramo elementare rispetto alla retta c X, che è quella parte del 
ramo y=f(x), che si projetta nel segmento 15 dell’asse X. Analoghe considerazioni 
si ponno fare rispetto all’arco Re. 
