Po 
rh 
Supposto Rr' > Ss", essendo +’ ed s' le projezioni dei punti R ed S sopra la retta cX', 
ogni parallela alla linea cX' che non disti da essa di una lunghezza maggiore di Ss' 
incontra l’arco RS in due punti soltanto, perchè una funzione continua sempre cre- 
scente o decrescente consegue un valore qualsivoglia compreso tra i suoi valori limiti 
ed una volta soltanto. Le parallele discoste dalla retta cX' di lunghezze maggiori di Ss, 
ma non di Rr', incontrano una sol volta il ramo RS. 
da' dy' 
dy' . da 
si comporta come un ramo di prima classe rispetto all’asse c Y', altrettanto può dirsi 
della parte Rc. i 
Si ponno ripetere delle considerazioni analoghe alle precedenti rispetto a cia- 
scun ramo elementare, che non sia un pezzo di retta, di cui si compone il nostro ramo. 
Rammentando poi la relazione = 1 si scorge facilmente che la parte c S 
È poi chiaro che, congiunti i due elementi (2,4) (2-+%, 7-4) dell’arco RS me- 
diante la retta 
r_y= lt 40 _geple+ n x—a), 
0<0<1, 
esiste una tangente al ramo RS ed una sola, la quale è parallela alla medesima ed 
ha per equazione 
Y-f(e+0h)=f' (c+0h)(X—-x+-0h). 
La stessa cosa può dirsi della congiungente due punti di ogni altro ramo ele- 
mentare di cui si compone il ramo dato. 
Più generalmente, se una retta incontra un ramo in due punti, esiste almeno 
una tangente non di flesso parallela alla medesima, di cui il punto di contatto si pro- 
jetta sull'asse X tra le projezioni dei punti indicati. 
Infatti, si ha 
Lah 
fe) ef= fe ne 
r 
Ora, se la derivata / (x) non va all’infinito nel tratto 40+4-A, si potrà fare 
M—=f'(x-+04), 0<0<1, 
perchè una funzione continua in un intervallo raggiunge nel medesimo almeno una 
volta un valore qualsivoglia non eccedente i valori limite. L'ultima eguaglianza ha 
pure luogo se uno di questi ultimi od amendue sono scevri da significato, perchè 
la derivata /"(@) va all’ infinito da ambo le parti di ciascuno dei punti in cui è di- 
scontinua e non mutando segno. 
Ciò posto, se il punto (a+ 0h, f(2+ Gh)) non è di flesso, l’asserto è dimo- 
strato, in caso contrario la retta 
Y— f(c+-0h)= f'(c-+ 0h) (XK—%+ 0h) 
sega al certo il ramo in due punti, perchè si ha e<x+0h<%-+h oppure 
e>ax4+-0h>&-+h secondo che la quantità 4 è positiva o negativa. Si potrà quindi 
condurre un’altra tangente al nostro ramo di direzione /"(2-+4-0h), e poichè il nu- 
mero delle tangenti di flesso è limitato, l’asserzione risulta dimostrata. 
