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Ecco alcuni esempì: 
Se il ramo dato è una semicirconferenza AB, la superficie T si otterrà tagliando 
il piano sopra il quale è deposta la linea AB lungo una retta uscente da un punto 
arbitrario K e parallela al diametro AB. Non è male il supporre che i due semi- 
piani in tal guisa ottenuti abbino a comune il punto K. 
Ad un ramo di curva formato da due semicirconferenze tangenti ad uno dei loro 
estremi e poste da parte diversa della linea dei centri corrisponde una superficie, la 
quale è ovunque doppia tranne lungo uno spigolo che si projetta sul piano della linea 
data secondo la stessa retta projezione del suo contorno. 
VI. Ancora sullo stesso argomento. 
1. Consideriamo ora nell'interno della superficie T relativa ad un ramo deter- 
minato una retta KU' che non sia uno spigolo e lungo la quale essa superficie copra 
semplicemente il piano. È facile vedere che il ramo dato si scinde in due rami di 
curva rispetto a questa retta. Infatti, normalmente alla medesima potrò condurre una 
tangente interna al ramo dato ed una sola non di flesso, chè, se ciò non fosse, ossia, 
se il numero di queste tangenti eccedesse l’unità, la superficie T si adagierebbe più 
volte lungo la retta considerata, la qual cosa non avviene per dato. Detto c il punto 
di contatto, l’arco Ac si comporterà come un ramo di curva rispetto alla linea KU', 
ed altrettanto si dica del ramo cB. Questa asserzione riesce evidente quando si 0s- 
servi che, chiamato y l'angolo della normale con l’asse X nel punto c di coordinate 
(21, Ys) al nostro ramo, sì ha i 
o=a+(0—2)cosy+(y—%)seny, 
LO cos y + sen dy 
mentre 2’ è la distanza di un punto di questa normale da c. Ora, la quantità 
1 dy _ _dy DUI DI N), _ dy 
cosy + seny az c0sr(14+4ey52) cambia di segno insieme all’ altra 1448Y 37 ; 
quando il fattore cosy non sia nullo, nè il mutamento di segno ha luogo entro il tratto ax; 
e nemmeno nell’altro 2,6. La grandezza &' varia quindi con continuità sempre nello 
stesso verso mentre l’ascissa 4 muta da a ad x, e così pure quando varia da x; a db. 
Si avverte poi di leggeri che la funzione y=f(x) è continua anche rispetto alla nor- 
male in c e che ha una derivata dotata delle proprietà indicate nelle caratteristiche. 
Se per ultimo si avesse cosy==0, reggerebbero ancora le asserzioni precedenti. 
Se KV' è una retta estremo della superficie T e se il ramo non ammette alcuna 
normale interna e non di flesso parallela alla medesima, il ramo si comporta rispetto 
alla linea KV' come un solo ramo di prima classe. Ciò ha luogo anche rispetto ad 
uno spigolo che ha la stessa proprietà della retta estremo KV'. 
Si distenda ora la superficie T n volte soltanto lungo la retta KS', copra cioè 
‘ lungo quest’ultima n» volte il piano, potendo giacere lungo la medesima anche uno 
o più spigoli una retta limite od amendue. È tosto veduto che il ramo dato si com- 
porta come n+1 rami semplici rispetto alla linea KS'. Il primo procedendo da A 
