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Decomposto uno dei due rami in più parti eguali, almeno una di queste si acco- 
sterà indefinitamente all’altro. Divisa poi quest’ ultima nello stesso modo, si proceda 
ognora in tal guisa e si tenderà ad un punto infinitamente vicino al secondo ramo, 
il quale giace quindi sul medesimo. 
Una retta sopra la quale non giace una parte di un dato ramo 
di classe qualsivoglia ha a comune con quest’ultimo un numero 
assegnabile di punti. 
Infatti, se ciò non fosse, io potrei condurre un numero arbitrario di tangenti 
non di flesso al nostro ramo parallele alla retta data, la qual cosa non può verificarsi. 
2. Due rami di curva di prima classe rispetto ad una stessa retta, che non hanno 
un ramo comune, ponno coincidere in un numero limitato od illimitato di punti. 
Ecco un esempio dell’ ultimo caso: si prenda un segmento rettilineo ad e si 
segni sul medesimo una varietà di punti che abbia il solo punto d per punto limite. 
l'al cosa si conseguirebbe, ad esempio, pigliando il punto «, medio di ab, quindi 
il punto di mezzo del tratto &, d, e così via indefinitamente. 
Considero ora una funzione fi(2) continua e sempre crescente nel tratto a 2, 
la quale si annulli in a, ed un’altra ©;(x) pure continua e sempre crescente per 
modo, che sia 
nu MICI 
1 
a(@)=0, fo@Mde= | fida, 
@ “a 
mentre le due funzioni /1(x) e ©:(x) hanno un sol punto comune #1 nel segmento 
a-+4-0 a,—0. È chiaro che, determinata la fi(x), si ponno costruire tante funzioni 
quante si vogliono, le quali soddisfano alle condizioni imposte alla i(x). 
Ora, si ha manifestamente 
h@<a(d, a<r<2, fi(@>r(d, <A, 
oppure 
h@> o), a<c<%1, fi(0)<o(), ci<e<a1. 
Ammesso che si verifichi il primo caso, imagino una funzione fa(x) continua e 
sempre crescente nel segmento «1» e tale, che sia fa(41))=f1(21), e quindi un’altra 
©2(2) continua e sempre crescente nell'intervallo stesso scelta per modo, che si abbia 
alza fe | pd, 
(I %, 
mentre le due funzioni fa(x), ga(0) si incontrano in un sol punto «> del segmento 
4140 «a —0. Ciò posto, sarà al certo 
cale) <a (2), <<) 92(0)>fa (0), va< ZA. 
Procedendo infinitamente nel modo indicato, è manifesto che ciascuno dei due 
integrali 
fe (a) da, o) da 
a 
rappresenta un ramo elementare nel tratto ab, essendo 9(2)= (2), f(M)=f(2) 
nell’ intervallo &;_1@; ($= 1;2,3,.., <=), quando le due funzioni /(2) e 0(4) sieno 
