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Occupiamoci adesso in particolare di una curva che non sia delle più generali. 
Un punto si dirà un estremo di tale curva, quando sia un termine di uno dei 
rami che la compongono, purchè non appartenga in pari tempo ad un’altro. 
Una curva si dirà poi scevra da estremi 0 chiusa quando non ha estremi, nel 
caso opposto si dirà aperta. 
Un aggregato di rami A, By, As B,,...,A5Bs forma una curva semplice chiusa, 
quando i punti Bj, As; Ba, A3;.....53 BsA; sono coincidenti, mentre due dei rami indicati 
non hanno del resto nulla a comune. Se, stando le altre ipotesi, i punti B, ed A, 
fossero distinti, il complesso dei rami dati costituirebbe una curva semplice aperta. 
Un punto di una curva si dice ordinario, quando si può assegnare una gran- 
dezza u. tale, che esso punto insieme a quelli che distano dal medesimo di una lun- 
ghezza non maggiore di p costituisca un ramo di curva. Ogni punto che non sod- 
disfa a questa condizione si dirà singolare. Un punto interno di un ramo di curva 
è ordinario, un suo estremo invece è un punto singolare. 
Un punto semplicemente angoloso è quello in cui concorrono due estremi sol- 
tanto dei rami dati con tangenti distinte. Se poi le tangenti fossero coincidenti, il 
punto si direbbe una cuspide, quando però non fosse un punto ordinario. 
Un punto si dirà semplicemente multiplo secondo il numero n, se si può co- 
struire una circonferenza di raggio infinitesimo col centro in esso per modo, che i 
punti della curva data appartenenti al cerchio da essa limitato costituiscano n rami 
di curva con n tangenti distinte. Se l’ultima condizione non è soddisfatta, il punto 
si dirà multiplo secondo il numero n. Iu tale ipotesi, se il numero delle tangenti 
tra loro distinte è #, la prima delle quali comune ad sj rami, la seconda ad sy, e 
così via, il numero dei modi secondo i quali si possono distribuire i rami intorno 
al punto maltiplo è IT (sj) II (s2)...II(s). 
Un estremo d’uno soltanto dei rami dati potrebbe cadere: in un punto ordinario 
di un altro ramo mentre le due tangenti sono distinte o meno, ed ecco altre due 
singolarità delle curve. 
Ma troppo a lungo ci condurrebbe un esame accurato di tutti gli accidenti pos- 
sibili in una curva, e d’altra parte esso è molto facile, per cui, lasciato questo ar- 
gomento, definiamo la specie di una curva della prima classe e nbn delle più generali. 
2. Fingo che in ciascun punto singolare della curva data C terminino tanti rami, 
quante sono le intersezioni di una circonferenza di raggio arbitrariamente piccolo 
Gi centro in esso punto con la C stessa, e dico Ci la curva conseguita in tal modo. 
La linea C, si compone di uno o più pezzi connessi, il cui numero è eguale o su- 
periore a quello di cui consta la C. Così, ad esempio, se quest’ultima fosse una cir- 
conferenza ed un suo diametro, la curva C si comporrebbe di un solo pezzo, laddove . 
la C ne conterrebbe tre. 
Detti Vi, Va,...., V, i pezzi che compongono la C,, avverto di leggieri che 
si potrà costruire rispetto a ciascuno di essi una superficie analoga a quella di cui 
non a guari si fece parola. 
Ed invero, il pezzo generico V, sarà aperto o chiuso. Nel primo caso esso è 
dotato di due estremi soltanto, perchè, se io parto da uno dei suoi termini, ed uno 
ne ha di certo, e lo percorro sempre in un verso, non avverto mai la esistenza di 
