VII. Connessione delle curve che non sieno delle più generali. 
1. Se trascuriamo un tratto arbitrariamente piccolo di un ramo di classe qual- 
sivoglia racchiudente nel suo interno un punto D, avremo fatto una sezione oppure 
un taglio in D nel ramo dato, il quale, perdendo in tal guisa la sua connessione, 
si scinderà in due rami. In ciò che segue si faranno delle sezioni anche nelle curve, 
ma soltanto intorno a punti ordinarî o semplicemente angolosi od a cuspidi. 
Diremo che una curva è semplicemente connessa quando diviene sconnessa me- 
diante una sezione qualsivoglia. 
1 pezzi nei quali si scinde una curva semplicemente connessa € 
mediante un taglio » sono semplicemente connessi. 
Infatti, dette P e Q le parti nelle quali si scinde la curva semplicemente con- 
nessa C mediante il taglio r, basterà dimostrare che ciascuna delle linee P e Q 
viene divisa in due parti mediante una sezione fatta in una delle medesime. Ora, se, fatto 
un taglio in P, tolgo la sezione r, la curva C si scinde per ipotesi in due, la stessa 
cosa ha quindi luogo del pezzo P. 
Una linea semplicemente connessa è aperta ed è dotata almeno di due estremi. 
Ed invero, se fosse chiusa, si potrebbe fare in essa una sezione senza spezzarla. Ciò 
posto, parto da un’estremo della nostra curva e procedo sempre in un verso sce- 
gliendo uno dei cammini possibili, quando giunga ad un punto singolare che non 
sia semplicemente angoloso oppure ad una cuspide. In tal maniera ripasserò di necessità 
per una stessa posizione oppure perverrò ad un altro estremo, chè, in caso contrario, 
‘la lunghezza della linea sarebbe illimitata. Non appena io giungo per la seconda 
volta ad uno stesso punto mi arresto ed ottengo in tal modo un pezzo connesso 
appartenente alla curva data, il quale non diviene sconnesso mediante una sezione. 
Adunque, la curva considerata ha almeno due estremi, e quando la linea data è 
scevra da punti singolari diversi dalle cuspidi e dai punti semplicemente angolosi, 
e solo in questo caso, ne ha due soltanto. 
È notevole il teorema('): 
Se una curva C si scinde in my curve semplicemente connesse 
mediante mn sezioni gi, e se la stessa si decompone in my pezzi, 
ciascuno dei quali è connesso, per mezzo di n, sezioni ge, non 
si avrà 
n—_Mmb>Mm—M . 
Se nelle mi curve semplicemente connesse, delle quali è parola nell’enunciato, 
facciamo tutte le gg sezioni possibili, otterremo mj-+4-na —v curve semplicemente 
connesse, quando v indichi il numero delle sezioni comuni ai due sistemi Qi e 
Se poi alle ms curve, delle quali si fa menzione nel teorema, si fanno tutte le %; 
sezioni possibili, si avranno le stesse m,-+na—v curve. Ciò posto, è manifesto che 
(') V. Riemann, Opere, pag. 10. 
