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Ora, è tosto veduto che le linee limite del complesso dato R sono continue in 
egual maniera. Poichè io posso determinare una quantità 4 per modo, che, conside- 
rata una parte qualsivoglia della projezione di una qualunque delle linee della va- 
rietà data non maggiore di 4, la oscillazione della linea in essa non sia maggiore 
della grandezza arbitraria o. Da valore opportuno #' di &, e sia il minimo possibile, 
la linea Fy+; (s=0) si scosterà dalla linea qualsivoglia K in punti aventi la 
stessa ascissa non più di o, laonde in ogni parte della projezione dell’ elemento K 
non maggiore di 4 la oscillazione di quest’ultimo non supera 30. 
Il numero #' dipende dalla linea limite K che si considera; esiste però per ogni 
elemento limite, tanto a noi basta. 
Il limite inferiore delle projezioni delle linee del sistema R' 
sopra la retta M non è minore della quantità analoga N relativa 
alla varietà data. 
Ed invero, non si potrà assegnare una linea L del complesso R' la cui proje- 
zione sopra M sia più piccola della grandezza N, chè, se ciò avvenisse, una linea del- 
l’aggregato P infinitamente vicina alla L avrebbe una projezione minore di N, contro 
il supposto. 
D'altra parte, l'insieme delle projezioni del sistema R raggiunge o meno il 
valore N. Nel secondo caso si può scegliere dal complesso dato un gruppo di 
linee U, (£=1, 2, 3,...) tali, che la projezione della U, tenda al valor N all’an- 
. Il ; SRO 
nullarsi del quoto n Questo sistema U, ammette almeno un elemento limite di 
cuì la projezione è manifestamente eguale ad N. La verità di questa asserzione ri- 
sulta evidente quando si rammenti il metodo seguìto poco fa per ottenere la linea 
limite K, e lo si applichi all’insieme U,. 
Adunque, se la varietà delle projezioni del sistema dato non raggiunge il limite 
inferiore N, quest’ultimo appartiene anche al complesso che costituisce derivata prima 
e viene raggiunto almeno da una delle linee R'. 
Se poi il numero delle linee la cui projezione è N fosse illimitato, reggereh- 
bero ancora le osservazioni precedenti, altrettanto ha luogo se esso è limitato e non 
nullo e se in pari tempo si può assegnare un gruppo U,(£=1) della specie or ora 
indicata. In caso diverso da quelli accennati il limite inferiore delle projezioni delle 
linee del sistema R' è maggiore di N. 
In modo analogo al precedente si dimostra che il limite superiore delle proje- 
zioni del complesso R' non è maggiore della quantità analoga relativa alla varietà 
data R. 
La derivata prima R' determina la derivata seconda R”, che è formata da un 
insieme di linee egualmente continue. È manifesto ora ciò che debba intendersi per 
varietà derivata dell’ordine n o derivata n R®. 
Un insieme di linee si dirà dell’ordine p, quando la derivata p% si compone di 
un numero limitato e non nullo di linee. Il sistema e? -+y*==r? (y=0 oppure y=0, 
pel Tala 1 +5 ,«) è del primo ordine e la sua derivata prima è composta delle 
due linee €? -+y*?=1(y=0 ossia y= 0). La varietà a? -4-y° =? (y=0 oppure y<0, 
