r=1, < 2) non è di ordine assegnabile, ed ogni complesso derivato è identico al 
primitivo. 
Il limite superiore delle projezioni del primo aggregato è eguale a 3, l’inferiore 
a 2, pel secondo i limiti sono 4 e 2. 
_ 2. La somma degli spazi, ciascuno dei quali contiene uno 
o più punti appartenenti ad un sistema di linee di ordine assegna- 
bile, può farsi di quella piccolezza che si vuole. 
Questa asserzione è conseguenza del teorema: 
L'insieme degli spazî, a ciascuno dei quali appartiene almeno 
un punto di un numero limitato di linee tracciate nell’area A sita 
a distanza finita, può farsi di quella piccolezza che si vuole. 
La proposizione è evidente se il sistema consta di linee che non hanno alcun 
punto comune. Se ciò non ha luogo, si potrà rendere piccolissima la somma degli 
spazî rispetto a ciascuna linea considerata a sè, l’aggregato degli spazî contenenti 
uno 0 più punti delle linee date sarà più piccolo dell’insieme di queste somme, che 
può farsi di quella piccolezza che si vuole. Questo fatto si verifica perchè almeno una 
delle aree in cui fu divisa la superficie A_ appartiene almeno a due tra le linee date. 
Ora, è chiaro che la somma degli spazi relativi all’ultima derivata di un sistema 
dell’ordine p può farsi tanto piccola quanto si vuole. Tolti questi spazi dalla super- 
ficie A, dico B l’area in tal modo ottenuta, la quale non è di necessità connessa. 
L'area B non sarebbe, ad esempio, connessa, se la derivata R® contenesse una linea 
che spezza A. 
Ciò posto, si avverte facilmente che non si può assegnare un numero illimitato 
di linee della derivata (p —1)t, ciascuna delle quali abbia un punto in B. Poichè 
in caso contrario io potrei determinare nell’area B un numero senza fine di punti 
as (s=1) tali, che due qualsivoglia possano ritenersi come non appartenenti ad una 
stessa linea del gruppo RU), ma bensì a due distinte tra loro ('). L'insieme a; (s=>1) 
ammette almeno un punto limite d nell’area B. Questo punto d ha la proprietà che 
si può torre dall’aggregato a, (s=>1) un altro d, («= 1, 2, 3,...) in guisa, che il 
punto d, converga ad esso mentre l’intero w cresce a dismisura. 
Se dico poi L, (v > 1) una linea della varietà (p — 1)£ che passa pel punto d, 
(u=1,2,3,...), ed una almeno si può al certo assegnare, ogni elemento limite del- 
l'insieme L, sara infinitamente vicino al punto d e quindi lo conterrà. Ma in tale 
ipotesi il punto d apparterrebbe alla derivata pt del complesso proposto, e l’area B 
non sarebbe scevra da punti che fanno parte dell’ ultima derivata, la qual cosa è 
contraria all’ ipotesi. Ne consegue che il numero delle linee dell’ aggregato R(lî7!, cia- 
scuna delle quali ha uno o più punti in B, è limitato. La somma degli spazî della 
superficie B non scevri da uno o più punti di queste ultime linee può quindi farsi 
di quella piccolezza che si vuole. Con una partizione conveniente dell’area A io posso 
dunque rendere piccolissimo l’ insieme degli spazî, ciascuno dei quali non va esente 
da uno o più punti di quelle linee che formano le due ultime derivate. 
Procedendo nella maniera indicata si scorge facilmente la verità dell’asserto. 
(') Non identiche. 
