III. Generalizzazione dei risultati ottenuti nei due numeri precedenti. 
1. Le ricerche dei due capitoli precedenti possono venir alquanto generalizzate. 
Gli studî fatti sino ad ora si riferivano a varietà tali di linee, che nessuna fosse 
deposta un numero non assegnabile di volte sopra A. Tolta questa restrizione, è 
chiaro che ogni elemento dell’ insieme dato, il quale è deposto un numero illimitato 
di volte sopra la superficie A, appartiene alla derivata R', che è formata da linee 
semplicemente adagiate sopra A. Tutti i risultati ottenuti nell’ipotesi che ciascuna 
delle linee dell’aggregato R sia deposta un numero limitato di volte sull’area A reg- 
gono anche nel caso attuale. 
2. Sia ora R un complesso di linee in A, ciascuna delle quali si projetta sem- 
plicemente sopra la retta M, egualmente continue e scelte in guisa, che il limito 
inferiore N delle loro projezioni sia eguale a zero. Ammettiamo altresì che ogni 
elemento dell’ insieme R sia adagiato un numero assegnabile di volte sopra A. 
Ciò posto, si supponga che il numero f(s) delle linee di cui la projezione non 
è inferiore ad 4; sia limitato per ogni valor particolare dell’intero s, essendo 7; (s=1) 
un infinitesimo positivo e sempre decrescente. In tale ipotesi sarà 
f(s)=f(s+1) = f(s+2) = .., lim f(s)= 0. 
s=0 
Imperocchè, se la espressione f (s) tendesse ad un limite all’ annullarsi del 
quoto 2 il numero delle linee dell’aggregato R sarebbe assegnabile, nè si avrebbe 
di conseguenza N=0, contro il supposto. 
In questo caso la derivata prima R', che manifestamente va determinata col metodo 
del capitolo I, consta di un complesso di punti, l’ordine del quale è assegnabile o meno. 
Infatti, se io potessi determinare una linea L appartenente alla varietà R', esiste- 
rebbe un numero illimitato di elementi del gruppo R, i quali ammetterebbero per 
linea limite l'elemento L, mentre il limite inferiore delle loro projezioni sopra la 
retta M sarebbe maggiore di zero, la qual cosa non può aver luogo per ipotesi. 
Ecco un esempio: sia as (s=1) un aggregato di punti tutti tra loro distinti 
ed m un intero determinato scelto del resto ad arbitrio. Traccio per ciascuno degli 
elementi a; (s= 1,2, 3,..., m) una linea di cui la projezione sopra la retta di rife- 
rimento M sia maggiore od eguale ad 1, conduco poi per ognuno dei punti a, 
(s=1,2,3,...,2m) una linea la cui projezione sopra M sia inferîore ad 41 ma non 
ad 20, e così di seguito indefinitamente, badando che il complesso che nasce in 
tal guisa sia egualmente continuo. La varietà dei punti a, (s=1) fa al certo parte 
della derivata R'. L'insieme R' potrà poi essere di ordine illimitato o meno, e nel 
primo caso la somma degli spazî che lo contengono potrà farsi di quella piccolezza 
che si vuole o no. In questo complesso di linee ogni elemento è deposto una sol 
volta sopra l’area A. 
Se modifichiamo ora l'insieme precedente in guisa, che ogni suo elemento venga 
computato come tale un numero illimitato di volte, il gruppo di punti as(s=1,2,3,...) 
