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4. Ci restano a dire poche parole relative alla ipotesi della continuità non 
uniforme, la quantità N essendo maggiore od eguale a zero, mentre ciascuna linea 
è deposta un numero limitato od illimitato di volte sopra la superficie A. 
Nel caso indicato si potrà torre dal sistema dato un’ altro egualmente continuo 
e d’ ordine non nullo, oppure ciò non si verifica. Il primo fatto ha luogo al certo 
ogni qualvolta una almeno delle linee date è adagiata tante volte quante si vuole 
sopra À. 
Se non può levarsi dell’ insieme dato un’ altro egualmente continuo, non esisterà 
una linea limite, poichè nel caso contrario si potrebbe scegliere dal complesso pro- 
posto un'altro continuo in egual modo e non di ordine nullo, contro l'ipotesi. Non 
sì tenderà però nemmeno ad un gruppo di punti. 
Ed invero, ammesso per un momento che esista in A un punto limite a, descrivo 
intorno al medesimo una circonferenza di raggio piccolo a piacere. D'altra parte, potrò 
scegliere una varietà di linee e;(s= 1), la quale tenda all’ elemento @ all’ annullarsi 
1 l : 
del quoto “nie ed assegnare di conseguenza un valore sj tale, che la linea e,,+(t=0) 
non abbia alcun punto esterno al cerchio or ora costruito. L’aggregato e, (s=1,2,3,...) 
sarebbe quindi formato da linee uniformemente continue, la qual cosa non può aver 
luogo per dato. 
IV. Applicazione delle ricerche precedenti ad un sistema di rami elementari 
della classe r. 
1. Sia data una varietà di linee nell’area A posta a distanza finita rispetto ad 
una stessa retta M in guisa, che nessuna di esse sia deposta un numero illimitato 
di volte sopra A e che il limite inferiore N delle loro projezioni non sia lo zero. 
Di più, ogni linea dell'insieme dato sia ognora crescente o decrescente, quando non 
sia costante. Con una scelta opportuna degli assi si potrà poi fare in guisa, che cia- 
scuna linea del complesso proposto cada nel primo quadrante, essendo l’asse X una 
parallela alla retta M. La funzione generica y=f(x) del nostro aggregato abbia poi 
in ciascun punto del tratto pae) b—0 una derivata prima, essendo ab la projezione 
della linea y=f(@) sopra la retta M. Questa derivata sia sempre costante oppure 
ognora crescente o decrescente. E poichè per ipotesi altrettanto avviene dell’ ele- 
mento y=f (2), la derivata /'(«) non assumerà valori positivi e negativi. Quanto 
si è detto circa alla derivata prima si dica della derivata seconda, terza, .., r2(21). 
Quest’ ultima si mantenca continua în particolare per ciascuna funzione nel tratto 
a+0 b—0. Adunque, ogni derivata di cui 1’ ordine non è superiore ad r non assume 
valori postivi e negativi. Le projezioni di due rami del complesso considerato sa- 
ranno identiche o no, come è chiaro. dr I pus 
La varietà delle derivate /"(0) è finita nel tratto a+n d—n, 
essendo n una quantità positiva minore di 5: del resto qualsivoglia. 
Le quantità a e d ponno variare da linea a linea, laddove la grandezza % si 
ritiene costante. 
