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Decompongo per tutta chiarezza l’ insieme delle linee y=/'(«) in sei altri, il 
primo Vi contenga le funzioni che sono positive e costanti, il secondo Va le nega- 
tive e costanti, l’altro Vz le positive crescenti, il quarto V, le negative crescenti, 
il quinto V; le positive decrescenti, 1’ ultimo VWy le negative decrescenti. È manifesto 
che almeno uno di questi aggregati contiene un numero illimitato di elementi, men- 
tre ciascuno degli altri potrà contenerne un numero limitato. Se tra le linee dell'in- 
sieme dato vi fossero dei segmenti paralleli all’ asse X, le funzioni /"() corrispon- 
denti sarebbero sempre nulle e potrebbero appartenere indifferentemente ad una od 
dall’ altra delle due varietà Vi, Va. 
Ciò posto, considero, per fissare le idee, la varietà Vs, e dico che si può asse- 
snare una quantità L(>0) in guisa, che nessuna delle funzioni del complesso Vs 
assuma un valore più grande di L nel tratto a+ bd—7. Poichè, se tale asserzione 
non fosse vera, si potrebbe determinare un’ infinitamente grande positivo ed ognora 
crescente M;(s = 1) per modo, che fosse o;(6;—)=M;, y=0:(2) (s=1, 2,3, ....) 
essendo un gruppo di linee del sistema V3, mentre a; dj è la projezione dell’ ele- 
mento y=9(x) sopra l’asse X. 
Ora, la espressione 
T 
UA (2)=7 (tm + fo. (2) da=f;(2) Do 
Ag+N 
nella quale la funzione f(x) è quell’ elemento del complesso dato che ammette per 
derivata la ©;(2), rappresenta un sistema di funzioni positive e sempre crescenti tali, 
che la quantità 4s(0b:—m) (0 <Mm<%) sia un infinitamente grande positivo ed 
ognora crescente. Ma ciò è contrario all’ipotesi che gli elementi y=(x) appartengano 
all’ area A sita a distanza finita. 
Si può quindi assegnare una quantità L (> 0) per modo, che nessuna linea del- 
l'insieme V3 raggiunga un valore maggiore della medesima in ciascun punto del 
tratto a+ è — a, essendo ab la projezione di uno qualsivoglia degli elementi 
che costituiscono il complesso considerato, 
Una proprietà analoga a quella ora dimostrata per l’aggregato V3 spetta a 
ciascuno degli altri insiemi Vi, Va, Vi, Vs, Ve 
Si può dimostrare tale proprietà rispetto al sistema V, nel modo seguente. Se 
essa non avesse luogo, si potrebbe assegnare un infinito sempre crescente P, (s > 1) per 
modo, che fosse in valore assoluto @; (c:+-2) 2 P; (s=> 1), mentrey=%; (1) (s=1,2,3,...) 
è una varietà di linee dell’insieme V, e csds la projezione dell’elemento y= ; (@) 
sopra l’asse X. L’espressione 
in cui ’f;(e) è la funzione del complesso dato che corrisponde ad ;(x), rappresen- 
terebbe quindi un gruppo di funzioni positive sempre decrescenti al crescere della 
variabile x e tali, che la quantità ©; (cs + 1) sia un infinitamente grande insieme 
ad s, la qual cosa manifestamente non può avvenire. 
