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In modo analogo si dimostra il teorema per gli aggregati V; e Vs, mentre 
esso è evidente per i complessi Vj e Va. 
Ciò premesso, poichè la varietà delle funzioni /" (2) è finita nel segmento 
a+nb— n, altrettanto avrà luogo dell’insieme formato dalle derivate seconde /" (2) 
nel tratto a +9 +9 b—q— 7%, essendo g' una quantità fissa del resto piccola a pia- 
cere. Procedendo con lo stesso ragionamento avverto tosto che ognuno dei complessi 
f'(2), f' (2), ..., f (2) è finito nell’intervallo a+ b— e, quaudo e sia una quantità 
positiva determinata di piccolezza arbitraria. 
2. Il complesso delle derivate /'(2) essendo finito nel tratto 
at: b—, l'insieme dato sarà egualmente continuo in esso segmento. 
Ed invero, la oscillazione dell’elemento qualsivoglia y= f (@) dell’insieme pro- 
posto in una parte del segmento relativo a+ 6 — e è eguale alla differenza dei 
valori da esso raggiunti negli estremi di questa parte. Tale oscillazione è minore della 
quantità Lr, quando L sia il limite superiore dei valori assoluti raggiunti dall’aggre- 
gato f (x) nell’intervallo a +e db —e e 7 la parte di quest’ultimo che si considera, 
qualunque sia l'elemento y= f (e). E poichè il prodotto L.7 si annulla con 7, 
l’asserto è dimostrato. 
Ponendo mente che il complesso /(9)(x) è finito nel tratto a +e bd —e per ogni 
valor particolare dell’intero s non eccedente il numero r, ognuno degli aggregati 
f'(2), f" (2), ..., f07D (x) è continuo in egual maniera in esso segmento. La va- 
rietà di linee y=/©(x) poi sarà egualmente continua 0 meno. 
Un esempio chiarisca l’ ultima asserzione. Sia mn (m< n) un segmento di 
retta e g un punto interno ad esso, mentre d, è un tratto rettilineo che si annulla 
1 ; $ Ue È 
sempre decrescendo con € contiene, non però ad un limite, l'elemento g. Indico 
poi con la notazione y = ©, (2) (V= 1, 2, 3,...) un sistema di linee, ognuna delie quali 
è sempre positiva ed è crescente nel segmento limitato dal punto m e dal primo 
estremo dell’intervallo d, come pure in quello che ha i suoi termini nel secondo 
estremo di d, ed in n. Nell’intervallo d, (v 21) la funzione ©, (@) sia ognora cre- 
scente, e la differenza delle due ordinate ai suoi termini tenda ad una quantità Q, 
mentre l’intero v cresce a dismisura. Tolto il tratto d,, sieno le linee considerate 
uniformemente continue ed a distanza finita. 
Ciò posto, la varietà degli integrali 
i 
rappresenta un sistema di rami di curva della quarta classe tale, che il complesso 
delle derivate quarte non è egualmente continuo nel tratto m +e n— e, si potrebbe 
dire anche nel tratto mn. 
Esiste quindi almeno una linea limite K dell’insieme formato 
dalle derivate (r — 1)] delcomplesso y=f(2), quando si considerino 
nel segmento a+ b—e. 
Rammento che la quantità e non muta da linea a linea e può assumersi ad 
va QUA N A 
arbitrio, purchè minore dell’ altra =, laddove le grandezze a e d ponno variare. 
