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ammette delle linee limite, ciascuna delle quali è positiva, prima crescente e poi 
costante, quando la quantità E sia positiva. 
4. La linea limite K non può comportarsi in modo diverso da 
quelli indicati, ossia essa non sarà prima costante quindi crescente o decre- 
scente e poi di nuovo costante, oppure crescente o decrescente poi costante indi an- 
cora crescente o decrescente. 
Alla dimostrazione di questo asserto farò precedere alcuni teoremi. 
Teorema I. Se d;(x) (s=1,2,3,..) rappresenta un insieme di fun- 
zioni egualmente continue nel segmento mn, ognuna delle quali 
non assume valori positivi e negativi, ed è sempre crescente, 
decrescente oppure costante, mentre si ha 
x 
lim fu da=0 
SEI, 
per ogni valor particolare della variabile x(>m, <n), sarà: 
limy;(2)=0, 
SE=20 
qualunque sia x nel tratto mn. 
Infatti, supposto per semplicità che ogni funzione 4;(#) non sia negativa e sia 
sempre crescente, ammetto che non si possa assegnare un valore s,, ads per modo, 
che si abbia 
('PIST (2) S G (6 a 0) ’ 
qualunque sia x nei limiti indicati, essendo o una quantità positiva scelta ad arbi- 
trio. In tale ipotesi potrò determinare una successione di valori s1, sa, $3; ... in guisa, 
che il limite superiore di ciascuna delle funzioni w, (x) (£= 1) sia più grande di 
una quantità opportuna g,1(>0). Avremo di conseguenza : 
bd, (> (0=1,2,3,...). 
Ora, io posso assegnare un tratto n—-p n in ciascun punto del quale la espres- 
sione 4, (0) (6 1) ha un valore non minore a ci, perchè la varietà w (2) (£= 1) 
è continua in egual maniera nel tratto mn. Non sarebbe quindi : 
T 
Pa 
lim | 4, (a) da= 
per ogni valor particolare della variabile 2 (>m,< n), ma bensì 
f d;, (2) da > L01 » 
qualunque sia l’ intero t. 
Il teorema si dimostrerebbe in modo analogo se la varietà 4;(x) (s = 1) non 
fosse mai negativa e fosse sempre decrescente, oppure negativa e ognora decrescente, 0 
anche mai positiva e sempre crescente. Se poi ciascuna linea del complesso ws (2) (s= 1) 
fosse costante e positiva, il teorema sarebbe evidente, come pure se ciascuna linea 
fosse costante e negativa. 
