= Sol — 
Stando dunque le ipotesi del teorema potremo decomporre la varietà 4;(@) (s>1) 
in sei altre, a ciascuna delle quali sia applicabile la nostra dimostrazione. 
La proposizione che precede regge anche se si ommette la con- 
dizione che ogni funzione dell’insieme considerato non muti segno 
nel tratto mn e se si tralascia l’altra di essere sempre crescente, 
costante o decrescente. 
La dimostrazione è però in questo caso diversa dalla precedente. 
Ammetto per un momento come non vero il teorema, oppure, ciò che torna lo 
stesso, che si possa assegnare un complesso di funzioni w, (x) in guisa, che sia 
al V (1) > 030) 
qualunque sia l’ intero #, essendo il primo membro della diseguaglianza il limite 
superiore dei valori assoluti della funzione 4s, (4) nel tratto mn e o una quantità 
positiva scelta in modo conveniente. 
Il gruppo di punti 21, 22, 23, ... ammette almeno un punto limite x’, e si potrà 
scegliere dall’ insieme x,(v> 0) l’altro 2, (0 =1) per modo, che sia lim 2,,=. 
vE=9MD 
Ma, le funzioni ws, (x) (v> 0) essendo egualmente continue nell'intervallo mm, 
potrò determinare un tratto g di cui un estremo è il punto x’, nel quale la fun- 
zione Ws, (4) non assume a partire da valore opportuno vi di v un valore più piccolo 
che 0, fatta astrazione dal segno. 
Adunque, in ciascun punto particolare dell’ intervallo 9 appartenente al segmento 
mn e che precede il tratto 9g, sarà Di: ipotesi 
Li fo, faa)da0 
quando l’ intervallo g esista, mentre la stessa cosa non può verificarsi in ogni ele- 
mento interno a g, contro il supposto. 
Il punto x’ sarebbe di necessità il limite destro del tratto q se esso cadesse 
in n, il sinistro, se in m, ed in quest’ ultimo caso mancherebbe l’ intervallo g, po- 
trebbe poi essere tanto l’uno che 1’ altro, se fosse nel segmento m4-0 n—-0. 
Teorema II. Se 4;(x)(s=>1) rappresenta un’insieme di funzioni con- 
tinue nel tratto m+0 n—0, ognuna delle quali è sempre crescente, 
decrescente oppure costante, nè muta segno, mentre lim fy(eazo 
Ss=0 5, 
Por ogni valor particolare della x(>mi<n), sarà: lim 4;(0)=0, quale 
S==0%0 
si sia 2, (>m+e,<n; oppure >m,< n—s). 
Ed invero, posto ancora per semplicità che ogni funzione $;(x) non sia DEGatiVa 
e sia sempre crescente, sarà 
lim y(n—e)=0, 
SED 
o meno. Nell’ ultima ipotesi io potrò assegnare una successione di valori per s, 
cioè s1,S2, S3,... per modo, che il limite superiore di ciascuna delle funzioni ds(2) 
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