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(= 1) nel tratto mn—e sia maggiore della quantità positiva ©, scelta convenien- 
temente. Avremo dunque: g,(n—-c)D>o. 
Di conseguenza, in ciascun punto del tratto nt—e nt—-0 si avrà Wy(0)> 01, 
e quindi nell’interno del medesimo non sarà: 
la qual cosa contrasta con l’ ipotesi. 
Dalla dimostrazione precedente risulta che la varietà di funzioni y=%; (x) (s=1) 
è egualmente continua nel segmento mn—e, la grandezza : essendo di quella pic- 
colezza che si vuole, nel caso che ogni espressione , (@) sia positiva e crescente in mn. 
Giova osservare che ad uno degli estremi del tratto mm ogni funzione (2) 
potrebbe crescere oltre ogni misura. 
Un esempio chiarisca questa asserzione. Essendo mn un segmento dell’ asse X, 
ed ns(s=1) un infinitesimo positivo sempre decrescente, indico con f.(x) (s=1) una 
funzione nulla in m positiva continua e sempre crescente nel tratto mn—0 e tale, che sia 
gent: Solhan 
pfo=eZIayg, (e>dASG5£9): 
(n—a) 
Il teorema IL regge anche se si toglie la condizione che la ws(x) sia dello 
stesso segno nel tratto mn, quando si sostituisca all’ intervallo m n—s l’altro 
me n—e. Ed in questo caso la linea ds(4) potrà andare all’ infinito tavto a destra 
di m che a sinistra di n. 
o. Giovandosi del teorema II non riesce difficile il. dimostrare come 1° ele- 
mento limite K non possa essere costante poi crescente ed indi di 
nuovo costante. Infatti, nel caso opposto una linea f:l71)(x) (s>1) infinitamente 
vicina ad esso sarebbe prima quasi costante poi crescente ed in appresso di nuovo 
quasi costante. Ora, noì possiamo determinare un segmento pg, nel quale si projetta 
una parte dell’ elemento K ed una di ogni linea f(x) (s=1), per modo, che 
ciascuna linea K ed /,l7!(x) sia in esso ordinatamente costante poi crescente indi 
di nuovo costante e quasi tale. 
Ciò posto, il complesso f(x) è positivo nel tratto pg, perchè in quest’ultimo 
l’altro f;071 è crescente. Noi potremo di conseguenza determinare un intervallo 
pt v(e>0, v<g) in cui si ha 
SAO) RYAN 
lim f fi(@azzo, pri<o<o, 
Sat pae 
per ogni valor particolare dell’ ascissa x nei limiti indicati, ed un altro ugq=i (u>v) 
nel quale è soddisfatta la stessa condizione. Adunque, in virtù del teorema II sarebbe: 
(1) 
lim a (2) 10 3 
s==% 
qualunque sia il punto x in ciascuno dei due segmenti p+e+1 v—:1, +e d—E1 
(c1>0). La stessa cosa avrà quindi luogo nell’ intervallo p+eter g—e—g1, perchè , 
ogni funzione dell’ aggregato /:l!(x) è sempre crescente o decrescente oppure costante. 
