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la quale è della classe (r—1)4, quando il sistema considerato sia 
della classe r2. 
Ed invero, la varietà data essendo continua in egual maniera rispetto al tratto 
ab, si potrà determinare almeno un elemento limite T relativamente ad esso inter- 
vallo in guisa, che sia lim f;(0)=T. Se considero ora l’ aggregato f(x) rispetto 
SE 
al segmento a4-e b—e, avvertirò tosto che dà origine ad una curva della classe 
(r— 1) che corrisponde ad una parte di T, la quale si projetta nell’intervallo 
a+ B—e, essendo « e G la projezione dell’ elemento T. Ponendo poi mente che 
la quantità e è di quella piccolezza che si vuole, e rammentando le ricerche del 
par. 1 del cap. V, si scorge subito la verità dell’ asserto. 
Le varie derivate 0 (x) (i=1, 2, ..., r—1) si comportano in uno dei modi indi- 
cati al par. 3 del cap. IV, rispetto al tratto «+ B—e, quando y=9(x) sia l’equa- 
zione della curva T, ed altrettanto si dica di quest’ ultima relativamente all’ inter- 
vallo af8. 
È chiaro che il numero delle linee limite del complesso dato è assegnabile o 
meno, e che nell’ ultima ipotesi il limite inferiore delle loro projezioni sopra l’asse X 
non è minore di quello corrispondente alla varietà contemplata ed il superiore non 
è più grande di quello relativo all’ insieme proposto. 
VI. Generalizzazione dei risultati conseguiti nei due numeri precedenti. 
1. Nelle ricerche precedenti si è supposto che ogni curva dell'insieme 
y=f(x) fosse deposta un numero limitato di volte nell’area A sita 
a distanza finita. Questa restrizione è però inutile. Infatti, se una o più 
delle linee date fossero deposte un numero illimitato di volte nel piano, si determi- 
nerebbero le linee limite col metodo già indicato, e tra queste ultime comparirebbe 
anche ciascuna linea della varietà data P, la quale fosse adagiata tante volte quanto 
si vuole sopra ‘1’ area A. 
Poniamo ora che illimite inferiore delle projezioni delle linee 
dell’insieme dato P, non sia maggiore di zero, mentre ogni linea è deposta 
un numero limitato od illimitato di volte sopra la superficie A. In tale ipotesi assegnata 
una quantità arbitraria 4, scinderemo l'insieme P in due, l’ uno P, contenga quelle - 
linee, ciascuna delle quali non ha una >’projezione minore di , il secondo P4 le 
altre. L’aggregato P, poi ammetta. la grandezza N qual limite inferiore delle proje- 
zioni delle linee che lo compongono. Se io so quindi che la varietà P è uniformemente 
continua in un tratticello aderente ad a ed in un altro che ha un estremo in 5, 
potrò asserire che il complesso Pi ammette delle linee limite rispetto all'intervallo 
ab poste in A ed egualmente continue, mentre le derivate' prime, seconde,.., (r—1)£ 
corrispondenti hanno 1° ultima proprietà nel tratto relativo al segmento a+ d—e. 
Occupiamoci ora della varietà Py. Circa a questa giova osservare che l’am- 
metterla continua in egual maniera nelle estreme vicinanze dei punti a e 6 torna 
lo stesso che asserire che le linee del sistoma P, di cui la projezione sopra la retta 
