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Con l’aggregato P' si può procedere come col dato e si ottiene un’altra varietà 
di linee P", la quale è pure in egual maniera continua. relativamente al tratto ef 
ed è della classe (r—1)g, quando e findichi la projezione di una sua linea elementare 
qualsivoglia. È poi manifesto ciò che debba intendersi per derivata s dell’ insieme dato. 
Se quest’ ultima si compone di un numero assegnabile e non nullo di elementi, la 
varietà proposta si dirà dell’ ordine s. Quando poi il numero delle derivate non avesse 
un confine, il complesso dato si direbbe di ordine non assegnabile. 
2. Ogni linea T; della derivata #4 (h 2) appartiene ad ogni derivata di o:dine 
inferiore, ma non di necessità al gruppo dato, che può anche dirsi la derivata del- 
l’ ordine zero. 
Infatti, io posso assegnare una linea L, (s= 1) infinitamente vicina al ramo T,, 
la quale appartiene alla derivata (h—1)4, chè, in caso opposto, l’ elemento T, non 
apparterrebbe all’aggregato P®, contro l’ ipotesi. La linea Ls varia sempre con s, 
perchè un elemento di una derivata di ordine superiore allo zero è semplicemente 
adagiato sopra il piano. Ora, poichè il numero A è maggiore di uno, quindi almeno 
eguale a due, io potrò assegnare una linea infinitamente vicina all’altra Ls per ogni 
valor particolare dell’ intero s ed appartenente alla derivata (h—2)£. Perciò anche 
una linea di quest’ ultimo complesso infinitamente vicina all'elemento Ti, che di 
conseguenza fa parte dall'insieme Pl), i 
Adunque se una linea T, appartiene all’ aggregato P® (h>1), essa fa parte 
anche della derivata precedente. Ma, ora essa è un elemento del complesso Pf), 
quindi, se il numero h—1 è maggiore di uno, lo sarà anche dell’insieme Pl!2), e così via. 
È chiaro che, se il limite inferiore delle projezioni dell’aggregato P' è maggiore 
di zero, la stessa cosa non può dirsi di un’altra derivata PO) (s>I). 
Nel cercare i varî complessi P', P",... corrispondenti ad un complesso dato P 
giova non tener calcolo dei gruppi di punti limite, cioè trascurarli non appena 
sì sono ottenuti. 
VII. L’ argomento non muta. 
1. Alle ricerche precedenti è bene l’aggiungere le osservazioni che seguono. 
Data una varietà di rami semplici della classe r£ a distanza finita rispetto alla 
quale il limite inferiore delle projezioni è eguale a zero, le funzioni f‘(2), f"(),...{l7D (1) 
sono egualmente continue nel tratto a+ b—e, e si può assegnare una quantità 
in guisa, che nessuna di esse funzioni le sia superiore nell’ intervallo indicato, fatta 
astrazione dal segno. Questo asserto non ha significato per 1° insieme delle funzioni 
ciascuna delle quali ha una projezione eguale o minore a 2e. 
È notevole che ciascuna derivata può andare all'infinito col limite inferiore e 
superiore dei suoi valori al decrescere indefinito della projezione della linea corri- 
spondente. Ecco un esempio. | 
La funzione 
(a) = Do L9 (0) (s=1) 
Vs 
