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rappresenta un complesso di linee della quinta classe nell'intervallo e; (e>0, 4s>s8), 
quando 7 (s>1) indichi un infinitesimo positivo sempre decrescente, ed il rapporto 
8 È TROIA . a 5 i 
— (s2 1) non sia mai minore di una grandezza assegnabile positiva minore di uno, 
Ss 
mentre 9;(x) è una funzione continua e finita insieme alle derivate % (2), 0% (2), 
mV 
(2), 9) 9) nel tratto 04s, qualuque sia l’intero s, la quale rappresenti un ramo 
elementare di quarta classe. L’ insieme /(x) è continuo in egual modo ed è a distanza 
finita. La varietà delle derivate l(@), l"(@),..., ‘0 (x) va del tutto all’infinito con s. 
2. Sia dato ora un complesso di rami elementari P della classe r& rispetto al- 
l’asse X sito a distanza finita, di cui il limite inferiore delle projezioni è eguale 
a zero. Di più, il numero degli elementi che hanno una projezione maggiore di »; sia 
assegnabile per ogni valor particolare dell’ intero s, essendo ; il solito infinitesimo. 
Ammetto anche che non si possa torre dal complesso P un altro, manifestamente 
composto di un numero illimitato di linee, il quale sia continuo uniformemente. 
È manifesto che nessuna linea del complesso P è deposta un numero non assegna- 
bile di volte sopra il piano, perchè si può determinare il numero degli elementi del 
gruppo dato ciascuno dei quali ha una projezione maggiore di 4s per ogni valor par- 
ticolare del numero s. 
Tolta dall’insieme P la varietà f(x) (621), è chiaro che si può determinare 
un intero t(s) per modo, che la projezione della linea f(x) (v=0) non sia mag- 
li 
(811% 
giore di 4. Con #(s) indico il minimo intero che soddisfa alla condizione indicata. 
i Applicando il metodo per la ricerca delle linee limite al nostro caso, determinerò 
prima un punto limite (B,, C,) degli estremi sinistri dei rami dati, e quindi un al- 
tro che abbia la stessa proprietà rispetto agli estremi destri degli elementi che dan- 
no origine al punto (B,, Ci). Il nuovo punto avrà per ascissa Bi e per ordinata 
C, (= C1). Non potrà essere C,o=C;, chè, in caso diverso, l’aggregato P conterrebbe 
un complesso di linee egualmente continue, contro il supposto. 
Per veder più addentro nella ricerca attuale giova riferirsi all'asse Y anzichè 
all'asse X. Diciamo @,(x) (6==1,2,3,....) un insieme di linee del complesso P di 
cui gli estremi sinisiri e destri hanno per limite rispettivamente i punti (B,, C)) 
e (B1, Ca) e tali, che ciascuna sia sempre crescente, quando non avvenga 1° opposto. 
Nel primo caso l’aggregato (x) sarà pure crescente, quando si riferisca all’asse Y, 
nel secondo ognora decrescente, ed il limite inferiore delle projezioni delle linee 
(2) “sulla tetta x=0 sarà in amendue i casi maggiori di zero. 
Ammesso, per fissare le idee, che il sistema @,(@) ((=1) sia formato da funzioni 
ognora crescenti, nella quale ipotesi ogni elemento della varietà o (@) sarà positivo, è 
chiaro che non si può assegnare una grandezza M (0) per modo, che sia mod. g'(1)<M, 
qualunque sia l'intero £ e qualunque sia il valore della variabile x, perchè l’insieme 
©: (c) non è in egual maniera continuo. Il limite superiore della espressione e () 
non è quindi assegnabile qualunque sia l’intero t. Questa asserzione può scindersi 
in due, il limite superiore della g', (x) è determinabile per ogni valore del numero £, 
ciò non ha luogo. 
Ora, la varietà o, (x) è uniformemente continua o meno; nel primo caso il 
