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limite inferiore della funzione d,(x) va all’ infinito con t, nel secondo la stessa cosa 
non avviene di necessità. Valgano i seguenti esempî a chiarire queste asserzioni. 
Essendo v, (s=1) un infinitesimo positivo sempre decrescente, costruisco in una 
area sita a distanza finita e del tutto nel primo quadrante una funzione gp; (x) ognora 
crescente, di cui la projezione @, ds sopra l’asse X sia eguale a y;. Di più, la va- 
rietà composta dalle linee y=p; (x) (s21) sia continua in egual modo. Detto poi 1; 
un infinitamente grande, il prodotto ps v;(s21) oscilli tra i limiti A e B, qualunque 
sia l’intero s, essendo A e B due grandezze positive determinate. 
Nelle fatte ipotesi è manifesto che 1’ integrale 
@; (2) -—{ (us+h, (a) da=ps(0 —a;) +fo. (a) da, 
WhSB9ZI o 
rappresenta un complesso di rami elementari della prima classe disegualmente con- 
tinuo, pel quale il limite inferiore delle projezioni è nullo. Rammentando poi che la fun- 
zione ps (&) è finita, qualunque sieno s ed 2, ed egualmente continua, l'insieme g',(1)(s=1) 
sarà continuo in egual modo, mentre il limite inferiore delle linee che lo compongono 
va all’infinito con s, ed altrettanto avviene del superiore. 
Se si sostituisce nell’ esempio precedente alla funzione ps (a) un’ altra  posi- 
tiva ts (a) e sempre crescente, la quale va all’infinito soltanto a sinistra del punto è; 
per ogni valor particolare dell’intero s in guisa, che sia 
si otterrebbe una varietà di rami elementari della prima classe &; (x), la quale non 
è continua in eguale maniera insieme al gruppo formato dalle derivate W'; (2) (2 1). 
Il limite inferiore dei valori della linea W'; (x) è assegnabile per ogni valore di s e 
va con quest’ultimo all’infinito, mentre il limite superiore non può mai determinarsi. 
Se indichiamo per ultimo con @; (2) (s 21) un complesso di funzioni positive 
sempre crescenti e tali, che il limite inferiore della ©, (x) non vada all'infinito con s, 
mentre l'integrale 
x UA 
J 0; (7) da 
dg 
oscilla tra due grandezze C e D(0<C< D), nè si accosta indefinitamente allo 
zero, la espressione 
L 
f c.da, assxz=b,, 
ad 
Ce 
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rappresenta un aggregato di funzioni non egualmente continuo con quello delle deri- 
vate prime. Il limite inferiore dei valori raggiunti da ciascuna di queste ultime è, 
qualunque sia s, a distanza finita, il superiore non è mai assegnabile. 
