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La linea y= ©, (@) riferita all'asse Y tende manifestamente al segmento di retta 
parallelo allo stesso asse di cui gli estremi sono i punti (B,, Ci), (B1, Ca). Detta 
poi c=w,(y) la equazione dell’elemento %, (x) rispetto alla retta x = 0, avremo 
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essendo (,y) un punto che annulla il binomio y— g, (x). Ne consegue che ogni 
derivata W', (4) può supporsi sempre crescente o decrescente, perchè questa condi- 
zione può ammettersi soddisfatta rispetto ad ogni funzione g' (@). La derivata W' (y) 
tende quindi a zero rispettivamente nel tratto x, +e {, ed &, B, =, essendo @, Bi 
la projezione dell’elemento &, (y) sopra l’asse Y ed e una quantità arbitrariamente 
piccola. Le grandezze & e /8, ponno variare da linea a linea, laddove la grandezza e 
sì mantiene costante. 
Adunque, una varietà di rami elementari della classe r& a distanza finita, nes- 
suno dei quali è deposto un numero illimitato di volte sopra il piano e tale, che il 
numero delle linee aventi una projezione maggiore di ns sia sempre assegnabile per ogni 
valor particolare di s, mentre non può torsi dalla medesima un insieme egualmente 
continuo, ammette per elementi limite soltanto dei segmenti paralleli all’asse Y. ID 
chiaro che il limite inferiore delle lunghezze di questi segmenti può essere eguale 
a zero. 
8. Abbiasi ora un sistema P di rami elementari della classe 7%, la quale sod- 
disfa alle condizioni indicate al par. 1 del cap. IV. In tale ipotesi si avrà almeno 
una linea limite L relativa al tratto a +e d — e. Ciò posto, si potrà assegnare o 
no una linea f; (€) (62 1) infinitamente vicina all’elemento L, la quale sia continua 
in egual maniera nel tratto ab. Nel primo caso la linea L potrà supporsi corri- 
spondente all’ intervallo ab, nel secondo essa potrà prolungarsi rispetto al seg- 
mento a +e, db — e, (0<e1<e), quindi nell’altro atea b+% (0 = <£1), 0 
così di seguito indefinitamente. Io otterrò in tal guisa una curva della classe (r — 1) 
relativa al tratto ab, la quale manifestamente si comporta nei modi indicati. 
La parte di linea f, (2) ($=1) che si projetta nel tratto infinitesimo a a+ 
ammette almeno una linea limite, che è un segmento di retta parallelo all’ asse Y 
di ascissa eguale al punto limite dell’elemento variabile a; la stessa cosa può ripe- 
tersi del pezzo di linea f, (@) (s>1) che si projetta nel tratto b — e; 6. 
Se nelle ricerche fatte or ora uno o più linee fossero adagiate un numero illi- 
mitato di volte sopra il piano, al sistema P' ottenuto nell’ ipotesi che ogni linea 
fosse computata una sol volta in P andrebbero aggiunti tutti gli elementi di P che 
sono deposti nel piano tante volte quante si vuole. 
Giova però l’osservare che nella ricerca delle linee limite di un complesso di 
rami elementari si può supporre che ciascuna curva sia deposta semplicemente nel 
piano, quando però nessun elemento sia adagiato un numero illimitato di volte 
sul medesimo. 
Infatti, in tale maniera non va perduto nessun elemento limite dell’insieme dato, 
poichè la linea f; (2) (6=1) infinitamente vicina all’ elemento T della derivata prima 
può supporsi formato da linee tutte tra loro distinte. 
Se poi l’aggregato P contenesse anche delle linee, ognuna delle quali è adagiata 
sopra il piano quante volte si vuole, esso potrebbe supporsi formato nella ricerca degli 
