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elementi limite da linee, di cui talune sono deposte sopra il piano un numero illi- 
mitato di volte, altre invece una sol volta, il primo insieme od il secondo potendo 
esser nullo. i 
Ed invero, una linea limite T appartiene o meno al complesso dato. Se vi ap- 
partiene, un elemento f; (2) (621) che le è infinitamente vicino sarà necessariamente 
eguale a se stesso, qualunque sia s, oppure ciò non ha luogo. Nella prima ipotesi la 
linea T appartiene tante volte quante si vuole al sistema P, nella seconda, mentre 
la stessa cosa potrà verificarsi, gli elementi /; (2) (s = 1) che corrispondono a valori di- 
versi dell’intero s potranno supporsi sempre tra loro distinti. In quest’ultimo caso 
si potrà supporre che la linea T faccia parte una sol volta dell’ imsieme dato od 
anche nessuna, ben si intende quando si tratti della ricerca del gruppo derivato. 
VII. Ze curve limite di una varietà data di curve della classe tt. 
1. Sia dato un complesso R di curve. della classe #4 (£t=.1) delle più generali 
site in un’area posta a distanza finita, il quale soddisfi alle seguenti condizioni : 
I. Che si possa assegnare una retta X rispetto alla quale ogni curva dell’in- 
sieme R si scinda in un numero limitato %& di rami elementari della classe #4 più 
un numero assegnabile /# di segmenti di retta paralleli all'asse Y. Con A e & indico 
i minimi numeri che soddisfano alla condizione indicata. Chiamo poi T l’insieme R, 
quando ogni curva che lo compone si supponga decomposta nel modo indicato ('). 
II. Il limite superiore di ciascuno dei numeri hf e k sia assegnabile. 
III, La varietà T sia formata da rami elementari in egual modo continui nelle 
estreme vicinanze dei loro termini. 
È chiaro che se un ramo elementare fa parte di un numero illimitato di curve 
del sistema R, esso dovra computarsi come appartenente tante volte quante si vuole 
all’aggregato T. Se poi un ramo elementare appartiene p volte soltanto ad una curva 
dell’insieme R e g volte solo ad un’altra dello stesso gruppo, mentre non fa parte di alcuna 
altra linea del complesso dato, esso dovrà computarsi p+4-gq volte nell’aggregato T. 
Il complesso R non ammette di necessità degli elementi limite. Così, ad esempio, 
1 . . 1 
se esso si componesse di una curva semplice chiusa L; (s= 1) che si annulla con " 
e forma il contorno di un’area elementare A, tale, che ogni punto della superficie A;.; 
appartenga ad A,, qualunque sia l’intero s, l’ insieme R ammetterebbe soltanto un 
punto limite. 
Il caso precedente si veriflca ogniqualvolta si può determinare un infinitesimo 
‘as(s=1) in guisa, che il numero ©(s) dei rami del sistema T la cui projezione non 
è minore di 4; sia assegnabile per ogni valor particolare dell’intero s, perchè in 
tale ipotesi il complesso T ammette soltanto dei punti limite. 
Quando il simbolo % (s) non abbia significato da valore assegnabile di s, si 
potrà tener parola di curve limite del gruppo R, come risulta dalle considerazioni seguenti. 
(') Le curve del complesso R contengono anche dei segmenti rettilinei paralleli all’asse Y; sono 
quindi più generali di quelle menzionate al capitolo VIII della prima Parte. 
