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NOTA I. 
Del ramo dì classe zero a distanza finita. 
1. Dirò ramo della classe zero l’insieme dei punti imagine della equazione 
y=f(x), essendo la f (@) una funzione continua nel segmento ab e tale, che quest’ul- 
timo possa dividersi in un numero limitato di parti in ciascuna delle quali la f(@) 
sia crescente 0 decrescente, quando non sia costante. Un ramo della classe zero si 
dirà elementare quando sia ognora crescente o decrescente oppure costante, nè muti 
segno. Un ramo della classe zero si scinde manifestamente in un numero limitato 
di rami elementari della stessa ‘classe. 
Se y=%(x) rappresenta una funzione integrabile nel tratto ab sempre positiva 
di cui il limite inferiore è diverso dallo zero, l'integrale 
@ 
faz (asa =D) 
a 
dà origine ad un ramo elementare di classe zero nell’ intervallo ab. 
NOTA II. 
Costruzione in un dato segmento di un ramo elementare di classe assegnabile 
o meno, che assume valori arbitrari agli estremi del medesimo. 
1. Ci proponiamo di costruire nel segmento ab una funzione 
continua sempre crescente, la quale raggiunga in a il valore A 
ed in d il valore B(A<B). 
Considero nel tratto a4-0 d—0 un gruppo di punti G, (s=1, 2, 3,...) tale, che 
ogni punto dell’ insieme G, appartenga al successivo G,.1, mentre la distanza fra 
due punti contigui si annulla con =: Nell'intervallo A-+-0 B—0 dell’ asse Y as- 
sumo poi la varietà G, (s=>1) analoga all’altra e composta dello stesso numero di puuti 
della prima per ogni valor particolare dell’intero s in guisa, che il numero degli elementi 
dell’insieme G',-1 — G', siti tra due punti consecutivi dell’aggregato G'; sia eguale 
a quello degli elementi del sistema G,-1 — G, tra i due punti corrispondenti. Am- 
metto poi che i punti che stanno agli estremi nel complesso G; convergano ai punti a 
e db all’annullarsi del quoto DI mentre una proprietà analoga ha luogo rispetto alla 
varietà G/,. 
Il numero dei sistemi della forma G, è illimitato, e ciascuno di essi dà origine ad 
un insieme ovunque compatto ‘y’,(t> 1) nell’intervallo AB. Due fra gli aggregati 
Y (21) coincidono oppure, ciò che torna lo stesso, sono formati dagli stessi elementi, 
oppure ciò non ha luogo. Altrettanto può dirsi dei complessi G;(s > 1), che fanno 
nascere l’insieme y, (£2 1). 
