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Chiamo ai’, as’, ..., am i punti della varietà G, da a verso d, AÎ, AS... AD 
gli elementi dell’aggregato G', da A verso B, e suppongo che la funzione da co- 
struirsi y=f() soddisfi alle relazioni 
A=f(a), A =f(a0), ASPRE) ,° AO — ere (ani), Be f(b ) 
(GI BB ovo) 
La funzione f(x) ottenuta in tal guisa è sempre crescente nel tratto. ab ed è 
definita soltanto nei punti @ e d ed in quelli del complesso y, (£= 1). La sua oscil- 
lazione è poi eguale a zero in ciascun punto del segmento considerato. 
Infatti, i punti del tratto ab vanno distinti in due classi, appartenga alla prima 
ciascun punto dell'insieme y,(t= 1), alla seconda appartengano gli altri. Questi 
ultimi non ponno presentarsi nella forma è, (t = 1), come è noto. 
Ciò posto, i simboli f(y) (6 21), f(e+0),f(e—- 0), (A <<), f(a+0), 
f(b—0) rappresentano manifestamente delle grandezze e non si ha f(x-+0) —/(e—0)=Z0, 
A—f(a+0) =0B—f—0) =0 in virtù delle ipotesi relative alle varietà 
Co Go(6= I 
Se attribuiamo quindi alla funzione f(@) in ciascun punto in cui non è definita 
il valore che si ottiene convergendo ad esso, otterremo una funzione f(x) sempre 
crescente nell’intervallo ab, la quale raggiunge agli estremi dell’ intervallo consi- 
derato i valori A e B. 
2. Costruiscooraunramo elementare di primaclassecheabbia 
per projezione sopra l’asse X il tratto 01, e raggiunga al primo 
limite il valore zero ed al secondo il valore A(>0). 
Se formo nel tratto +0 1— 0 una funzione o (€) continua e sempre crescente 
in guisa, che l’area BCD sia eguale all’area EDM ('), la qual cosa può conseguirsi 
in quanti modi si vuole, è chiaro che l’integrale 2 (x) = ni o (2) d a rappresenterà 
0 
un ramo elementare di prima classe, pel quale 7 (0) = 0, (1) = A. Se poiy= w (@) 
è la funzione sempre decrescente FGH tale, che le aree dei due triangoli mistilinei 
FBG, GHM sieno eguali, anche la espressione m (x) = | d(a)da (02x = 1)sod- 
‘o 
disfa alle condizioni volute. La funzione ! (x) volge la convessità all'asse X, la se- 
conda la concavità. 
Per ciascun punto interno al nostro rettangolo, che non sia 
sulla retta y=Az, passano tanti rami della specie indicata, quanti 
si vogliono. Ognuna di queste linee è sita per intero in una sol- 
tanto delle due metà incui il rettangolo risulta diviso dalla retta 
y=Ax. La parte inferiore è il luogo dei rami elementari di prima 
classe che volgono la convessità all'asse X, l’altra il luogo dei 
rami che volgono la concavità allo stesso asse. 
Queste asserzioni risultano chiarite da quanto segue. 
(') Vedi la fis. in calce alla Memoria. 
