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Piglio un punto (c, d) entro il rettangolo sopra la retta y = A@ e mi propongo 
di costruire, se pure è possibile, un ramo elementare y=/(@) che volga la sua 
convessità all’asse X e passi per esso punto, mentre /(0) = 0, f(1)= A. Essendo 
f(6)= S 0 («)da, e la © (x) sempre positiva e crescente, la quantità (0) sarà 
0 
aTA nl 
minore di A, laddove © (c) > A, perchè J o(a)da=d= Ac. L’integrale J (a) da 
0 e 
sarebbe quindi più grande di A (1—c), nè si potrebbe avere 0 (1) = A. 
Analogamente si dimostra che non esiste una linea uscente dal punto (c, Ac) 
(0=<c<1), la quale volge la sua concavità alla retta y= 0. 
Detto (21, y1) un punto del nostro rettangolo tale, che sia Ai > y1, costruisco 
sul segmento 0; un rettangolo di area y,, di cui il lato parallelo all’asse X cade 
manifestamente al di sotto della retta y= A. Formo quindi una funzione sempre 
crescente % (x) che si projetti nel tratto 02, nè abbia alcun punto fuori del primo 
rettangolo, mentre J © (@)da=y1. È chiaro che la funzione 9 (@) debitamente pro- 
0 
lungata dà origine alla f(@), la quale volge la sua convessità all’asse X ed ap- 
partiene alla parte del rettangolo OLMB che è sottoposta alla diagonale y = Az. 
L'ultimo fatto avviene perchè, come or ora si vide, non esiste alcun ramo elementare 
il quale, volgendo la sua convessità all’asse X contiene un punto interno della dia- 
gonale OM. 
Il numero poi delle funzioni /() che soddisfano alle condizioni or ora indicate 
è manifestamente arbitrario. 
Se nel punto 0 la funzione f (2) da costruirsi non dovesse annullarsi pur soddisfa- 
cendo agli altri dati,si dovrebbe avere / (1) — f (0) > 0. Posto quindi f (1) — f (0) =A, 
si opererebbe come si è fatto poc'anzi e si aggiungerebbe poi alla funzione ottenuta 
il valore f (0). La espressione / (È) sarebbe del caso, quando, stando le altre ipotesi, la 
proJezione della linea da costruirsi fosse eguale ad m, mentre f(x) ha il solito significato. 
La funzione f(1—) risolve il problema pel caso di un ramo elementare 
decrescente. 
3. Se y= 01 (©) rappresenta una funzione sempre crescente o decrescente nel 
tratto 01 che non muta segno, l’integrale 
L 
a (2) = 01 +fa (a)da (0=a=1) 
0 
da origine ad un ramo elementare di prima classe, purchè la costante Ci sia scelta 
in modo opportuno. L'espressione 
m(@=0+f pad (031) 
‘0 
ci rappresenta un ramo della seconda classe, quando non muti segno. 
