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Ne consegue che l’integrale 
@r+1 (0) = C+ fo, (a)da (0=x=1) 
"0 
ha per imagine un ramo elementare della classe r, purchè le costanti C, (£= 1, 2, ...,7) 
sieno determinate in maniera conveniente. 
Se facciamo C,= 0 e Do,.1(1) = A (>0), il ramo elementare y= @,+1 (2) si 
si annulla nel punto 0 ed assume il valore arbitrario A nel punto di ascissa 1. 
Non è poi difficile il costruire un ramo elementare di classe non assegnabile 
nel segmento 0c (c < 1), che si annulla al primo termine e raggiunge un valore 
arbitrario A (> 0) nel secondo. Il simbolo Xn a, a" rappresenta al certo un ramo 
0 
elementare di classe non assegnabile, quando sia as > 0 (s>0), mentre si può de- 
terminare un valore 0 (<1) in guisa, che il modulo a," si mantenga finito qua- 
lunque sia n. Si potrà poi fare a, =0 e quindi Df (c) =A(>0). La quantità c va 
supposta minore di p. 
Il ramo or ora costruito e sempre crescente nel tratto 0c insieme ad una qual- 
sivoglia delle sue derivate. 
NOTA III 
Un ramo elementare della classe zero è anche rettificabile ('). 
1. Essendo y= @(x) una funzione sempre crescente e continua nel tratto pg 
inserisco in quest’ ultimo un gruppo variabile di punti G, (s=1) tale, che la distanza 
fra due contigui si annulli con To La spezzata i cui vertici riposano sulla linea 
y=©(2) e che hanno per projezioni sopra la retta y=:0 i punti dell’ aggregato 
G,(s=>1) si mantiene finita, qualunque sia l'intero s, perchè sempre minore dell’in- 
tervallo pg e della differenza 0(9) —@(p). Diciamone w (s) la lunghezza, che rappre- 
senta manifestamente una funzione finita la quale esiste soltanto per valori interi 
della variabile s. 
Ora, se P e Q sono i limiti tra i quali oscilla la espressione 4(s) al crescere 
indefinito del numero s, si potrà assegnare un sistema di valori sempre crescenti 
81, S2, $,. per modo, che sia limy(s,)=M(P=M=Q0). 
TE=% 
Sia adesso H, (£=> 1) un’ altra varietà (°) di punti in pg scelta in guisa, che la 
distanza fra due punti contigui qualsivoglia tenda a zero con -. Ciò posto, esi- 
sterà una successione di valori t1<t, <<... tali, che sia lim w(t)=M; 
(PreM<Q), essendo (0) la lunghezza della spezzata relativa al gruppo H,, 
e Pi, Qi; i limiti tra i quali essa oscilla all’indefinito aumentare dell’ intero #. 
È facile il vedere che M.=M. 
(') Ho dimostrato questo teorema con metodo un po’ diverso dal presente nel volume dei Ren- 
diconti dell’ Istituto Lombardo per l’ anno 1883. 
(@) AI caso la stessa. 
