SIRO DINE 
Infatti, si può dare al numero £, un valore #,, per modo, che la quantità 
Mi_%W1 (0,0) (020) sia piccola quanto si vuole. Da valore opportuno s,, dell’'in- 
tero s, (0=1) anche la differenza M—4(s0,-») (Vv = 0) può supporsi piccola ad arbitrio. 
Il numero r, sia poi scelto in guisa, che sia piccolissima la somma K (v) delle corde 
della nostra linea relative al gruppo H,, ., (0 =0) e tali, che ciascuna abbia un punto 
interno, che si projetta in un punto di divisione del sistema Go, Per tutta chia- 
rezza poi suppongo che fra due punti successivi del gruppo Gi, non cadano meno 
di m punti dell’ insieme H,, .., (0 = 0), essendo m un intero orande a piacere. Am- 
metto anche che sia piccola ad arbitrio la somma K;(v) dei segmenti ottenuti con- 
giungendo i punti della nostra linea, che si projettano in punti del gruppo Coi i 
quali non appartengono all’ altro Bk (0=0), coi punti della linea y=o(@) ap. 
partenenti alla spezzata che nasce mediante l'insieme Hy, .., (v 20) e contigui ai 
precedenti. Si può soddisfare a queste condizioni perchè il numero dei punti dell’ag- 
gregato CoA è fisso e perchè la linea considerata è continua, mentre l’intero m è 
arbitrario. 
Ora, si ha 
fi (TROTA (K0)-E10)), 
(410,-)—K0))+E10)3Y6), 
qualunque sia l’intero v. La diseguaglianza ha luogo perchè il più corto cammino 
fra due punti è il rettilineo. 
Di conseguenza: 
W1((,:) > 4) + (KO) —K(0)) 
E poichè le quantità $;(t,,), d.(s,) sono vicine quanto si vuole alle altre Mi ed M, 
mentre la espressione K(0)—K, (v) si annulla con z. non potrà essere M—M< 0. 
Il nostro ragionamento può invertirsi rispetto ai due gruppi G ed H, laonde la 
quantità M, non può essere maggiore di M, e perciò Mj=M. La grandezza Mi} può 
supporsi eguale a P, oppure Qi; l’asserto è quindi vero, e perciò la proposizione: 
Se il simbolo y=©(x) rappresenta una funzione continua sempre 
crescente o decrescente (') nel segmento ab, la somma 
n h, VA k? 
2h} SIRO 
nella quale h1+h0+...+lh=ax (a<a<b), k=f(a+Mh+h+..+h)— 
f(a4-h14-...+hs1), tende ad un limite al simultaneo annullarsi delle 
quantità li, l9,...3 ln. 
Questo limite si dirà la lunghezza di quella parte della linea data che si projetta 
nel tratto ax. 
(') Più generalmente, mai crescente e decrescente. 
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