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NOTA IV. 
Costruzione di una curva infinitamente vicina ad una curva data 
di classe assegnabile. 
1. Costruiamo prima un ramo elementare infinitamente vicino ad un ramo dato 
della stessa natura e di classe r, la cui equazione sia y=f(x). Detta ab la proje- 
zione della linea y=/f®(x) sopra l’asse X, che suppongo, per fissare le idee, cre- 
scente e non sita sotto alla retta y=0, ed a, 
bs(s=1) un intervallo di quest’ultima 
scelto in guisa, che si abbia lim &, bs=ab, formo sopra il tratto a, db, un ramo 
elementare 4(x) (s= 1) infinitamente vicino all’ altro y=f 
S=%0 
)(x). Così, ad esempio, 
si potrebbe fare a, bj,=ad e 9M(2)=fM(2)+%, quando 4 (s=1) sia un infini- 
1 
tesimo positivo con mai 
Ciò posto, la espressione 
os (0)= 
Cit Ca (e—-c) +03 —T_ 
(a_ 
o)? (@_0) 
9 —__—_+ 0, 33 +... +0, 
(a=osì; =) 
rappresenta al certo un ramo elementare della classe r infinitamente vicino al dato 
y=f(@), purchè le costanti Ci, Ca,... 
, C, sieno determinate in modo opportuno. 
Una curva della classe r£ può decomporsi in un numero limitato di rami ele- 
mentari rispetto ad una stessa retta e di segmenti paralleli ad una normale a 
quest’ ultima ('). 
Chiamati V,(s=>1,=<t) i t elementi nei quali suppongo decom- 
ponibile la curva data, costruisco col metodo insegnato un ramo elementare infinita- 
mente vicino all’altro V,(s=1,=t) ed ottengo la curva voluta. 
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(') La curva è presa nella generalità di cui è parola nel cap. VIII della seconda Parte. 
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