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Nuove ricerche sulla Serie di Fourier. 
Memoria del prof. G. ASCOLI 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 7 aprile 1878. 
Elementi per una teorica delle funzioni di una variabile reale. 
1. Preliminari. 
1. Inserisco nel segmento @d un altro a,bj <@d, in @jb; un terzo ag da < @1d1, 
e così procedo indefinitamente, essendo lim a, 0, = 0. 
n=" 00 
Non esistono due punti assegnabili che fanno parte del tratto ab (') e di uno qualsivo- 
glia degli intervalli 41 61, 44 da, ... Poichè, nel caso contrario, a, è, annullandosi con Si sì 
potrebbe dare ad n un valore tale, che a partire da esso il tratto @,0, fosse minore 
della distanza di questi due punti. 
Ciò posto, ammetto che, operando nel modo indicato, si tenda 
ad un punto, voglio dire con ciò, che nel tratto ab esiste uno ed un 
solo punto assegnabile che fa parte del segmento a,òb,, quale si 
sia n. In taluni casi potrà esser facile l’assegnare il punto al quale si converge; se 
gli intervalli @,d1, 4302, ... avessero un punto a comune, ad es. il medio, si tende- 
rebbe al medesimo. 
2. Data una serie illimitata di punti P in un intervallo finito qualsivoglia, sì 
può sempre determinare nel medesimo almeno un punto e tale, che nel tratto c-4 
c+n, ne cada un numero non assegnabile, per quanto sieno piccole le quantità 4 ed 71. 
Se il punto e fosse in uno degli estremi del segmento considerato, una delle quan- 
tità 4 ed 41 sarebbe nulla. Esso si dirà punto limite (?). 
Ed invero, si divida il segmento dato in più parti eguali @1, 42,03, ..., @n; in 
una di queste almeno cadrà un numero illimitato di punti P. La si decomponga 
(1) Dico che un punto appartiene o fa parte del segmento 40, quando esso è nel suo interno 
od ai suoi limiti, dell’ intervallo a+0 db, se cade tra a e d oppure sovra quest’ultimo. 
(2) Vedi la Memoria del sig. Cantor: Veber die Ausdehnung cines Satzes aus der Theorie der lri- 
gonomelrischen Reihen, inserita nel vol. V degli Annali di Matematica di Clebsch e Neumann, p. 131 e segte. 
