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alla sua volta in un numero arbitrario di parti eguali, di cui una almeno conterrà 
© un numero non assegnabile di elementi P. Così procedendo indefinitamente si ten- 
derà, pel postulato ammesso or ora, ad un punto, che è un punto limite. 
Una serie illimitata di punti P definisce la serie dei suoi punti limite P', che 
dirò derivata prima, la quale, quando non consti di un numero assegnabile di ele- 
menti, dà pure origine ad una serie di punti limite P", che si dirà derivata prima 
della serie P' e derivata seconda della P. Si vede ora ciò che debba intendersi per 
serie derivata dell’ordine r. 
Ecco alcuni esempî: se il sistema P fosse costituito da un punto qualsivoglia 
di ascissa razionale del segmento 01, la serie P' conterrebbe un punto qualunque 
di esso tratto, e così pure ciascuna delle derivate P”,P",.... Se il sistema P con- 
tenesse il punto di ascissa z (s= 1,2,...), la serie P' si ridurrebbe al punto 0. 
Diremo che un sistema di punti forma un gruppo dell’ordine », quando P(” 
contiene un numero assegnabile di elementi; la seconda delle serie considerate è del 
primo ordine. Un punto qualsivoglia di un tratto contenente la origine e che ha per ascissa 
1 1 1 1 
——- + °_° + 2° + jr 
3° Dî2 753 milsa * 
gli interi s1, so, s3, sy variando da uno sino a + co, determina una serie del quarto ordine, 
di cui le derivate P', P”, P'”" contengono rispettivamente un punto qualunque di ascissa 
eni IS R , LT SR, e 
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mentre la P(IV) consta soltanto del punto 0. 
È manifesto che, assegnato un gruppo d’ordine qualsivoglia in un intervallo qual- 
siasi, si potrà determinare in una parte scelta ad arbitrio nel medesimo un tratto 
entro il quale non cade verun punto del sistema dato. 
3. Sia P una serie di punti dell’ordine r nel segmento @b. I punti della deri- 
vata Pl) decompongono l'intervallo dato in un numero assegnabile di parti A, 
A. .... Un tratto A, che ha uno qualsivoglia dei suoi punti nell’ interno di AM e 
tale, che la differenza AM —'AM sia di quella piccolezza che si vuole, contiene un 
numero limitato di punti della derivata P©75, i quali lo dividono in un numero deter- 
minato di intervalli A), AMY, .... Analoghe considerazioni si ponno fare rispetto 
a ciascuno degli altri segmenti A, A®,.... L'intervallo 'AM=%, dedotto da Aff! 
come lo fu 'Al! da Al, contiene un numero limitato di punti della derivata P(72), 
che lo scindono in un numero assegnabile di parti A{f_?, AST®,.... Procedendo nel 
modo indicato si otterrà un numero determinato di segmenti "A, ‘A, ..., ciascuno 
dei quali è scevro da punti P e la cui somma è arbitrariamente vicina ad ab. 
Se supponiamo che ognuna delle differenze 
AU'AU, AO'AW,.... 
