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si annulli, otteniamo i segmenti A, A, ..., ciascuno dei quali non contiene nel suo 
interno verun punto della serie PO. I tratti AO, A, ... aggruppati convenien- 
temente danno origine agli altri "AP, AS, ..., di cui ognuno ha un numero asse- 
gnabile di punti della serie P®. Si facciano convergere questi ultimi ai corrispondenti 
A, AS. .... Questi tratti combinati in modo opportuno fanno nascere gl’ intervalli 
'A®, "A, ..., che alla lor volta danno origine ai segmenti A®, A®.... Procedendo 
in tal guisa si ricompone il segmento dato. 
4. Chiamerò serie continua di un segmento ab un aggregato tale di punti sul me- 
desimo, che in un tratto qualsiasi si possa assegnarne uno, epperò quanti si vogliono. 
I punti di ascissa vi dell’intervallo 4 1, p e q essendo primi tra loro, costituiscono 
una serie continua del segmento dato. 
Una successione continua P, è compresa in un’altra P, quando un punto qual- 
sivoglia della serie P, appartiene a P. La serie or ora considerata appartiene a quella 
determinata dai punti di ascissa commensurabile del tratto 41. 
Una successione continua rimane tale togliendo dalla medesima un gruppo di 
ordine assegnabile. 
2. Sul concetto di funzione. 
1. Se le quantità y ed x dipendono tra loro per modo, che si 
possa assegnare una serie limitata od illimitata di valori della ©, 
a ciascuno dei quali corrisponda uno ed un solo valore di y, si 
dirà che y è una funzione di @. 
Riferendosi in un piano verticale a due assi ortogonali X, Y (X orizzontale), 
si potrà imaginare rappresentata la dipendenza della y dalla + nel solito modo. Se 
fissassi un numero determinato di punti sulla retta y=0 ed in ciascuno dei mede- 
simi inalzassi una normale di lunghezza arbitraria, otterrei una funzione della x. 
Una serie i cui termini dipendono dalla x, la quale converge almeno per un valor 
particolare di quest’ ultima, ci offre un altro esempio di funzione, come 
a MI) 09 RIF 
1 
|a 
Il simbolo 
Xn Cn 
1 
ha significato soltanto per valori di x della forma 1, 4, $;.-.., quando c, rappresenti 
una grandezza per valori interi e positivi di n. 
Riemann nella Memoria: Veber die Darstellbarkeit einer Function durch eine 
trigonometrische Reihe (') dice:.... « betrachten wir die Reihe 
a,SenXr+ do Sen 20 + .... 
4bo + b1 cosa + da cos 2Xr +... 
oder, wenn wir der Kirze wegen 
4 bo = Ao, a senno + di cose = A, dg sen 2x + da cos 2x = Aa, ... 
d 
(1) Vedi Riemann, Mathematische Werke, p. 231. 
