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setzen, die Reihe 
AhptTAn+Ag,+.. 
als gegeben. Wir bezeichnen diesen Ausdruck durch Q und sei- 
nen Werth durch f(@), so dass diese Function nur fùr diejenigen 
Werthe von x vorhanden ist, wo die Reihe convergirt». 
2. Nè queste parole soltanto accennano alla definizione data or ora; dopo il pe- 
riodo riportato Riemann soggiunge('): « Zur Convergenz einer Reihe ist 
nothwendig, dass ihre Glieder zuletzt unendlich klein werden. 
Wenn die Coefficienten @,, è, mit wachsendem n in’s Unendliche 
abnehmen, so werden die Glieder der Reihe Q fur jeden Werth von 
x zuletzt unendlich klein; andernfalls kann dies nur fir beson- 
dere Werthe von « stattfinden». 
Ora, se si ammette che le parole besondere Werthe dicano che questi va- 
lori non riempiono mai un tratto continuo dell’ asse X, l’ultima asserzione contiene 
il teorema: 
Se per ciascun punto m particolare di un segmento comunque 
piccolo dell'asse X l’espressione 
a, Senna + D, cos nx 
1 x 
converge a zero con I sara: 
mm =liimo, = 0 (n= 00). 
Questa proposizione fu dimostrata dal sig. Cantor (°); pare quindi che il mio 
modo di interpretare il periodo riportato sia esatto. 
Riemann, per quanto osserva a pag. 230: «... es miissen daher zunaechst zur Dar- 
stellbarkeit nothwendige Bedingungen aufgesucht und aus diesen dann zur Darstellbar- 
keit hinreichende ausgewîhlt werden», cerca in prima le condizioni che necessariamente 
devono essere soddisfatte (*) « wenn eine nach dem Intervall 27 periodisch sich wie- 
derholende Function f(x) durch eine trigonometrische Reihe deren Glieder filr jeden 
Werth von x zuletzt unendlich klein werden darstellbar sein soll». Dice in appresso: 
«Es bleibt nun noch der Fall zu untersuchen wo die Glieder der Reihe Q fir den Ar- 
gumentwerth x zuletzt unendlich klein werden, ohne dass dies fiir jeden Argument- 
werth stattfindet (*)». 
Ora, se non si accettasse la definizione di funzione data poco fa, la quale non 
porta di necessaria conseguenza la esistenza della medesima per un punto qualsivo- 
glia di un tratto comunque piccolo delle asse X, sarebbero anzitutto superflue le 
parole « deren Glieder fir jeden Werth von « zuletzt unendlich Klein werden », nè 
d’ altra parte avrebbe significato il cercare le condizioni affinchè una funzione sia 
esprimibile per serie trigonometrica i coefficienti della quale non vanno a zero con 
(1) Vedi lo. c., p. 281. 
(2) Vedi gli Annali di Matematica di Clebsch e Neumann, vol. IV p. 139. 
(©) Vedi Io. c.,, p.. 29%. 
(4) Vedi p. 241. 
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