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b) 
al quanto il non ammettere soddisfatta questa condizione escluderebbe a priori la 
esprimibilità della f(@) per serie della forma 
sbo + Xn (a, senna + bd, cos na). 
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3. Funzioni finite e funzioni che non sono tali. 
1. Rappresentata graficamente una funzione che esiste in un 
numero illimitato di punti del tratto ab(a<b), se si ponno tirare 
due rette parallele all'asse X che la comprendono, si dirà che essa 
è finita neldato segmento; se non può soddisfarsi a questa condi- 
zione, che) vacin esso all%imfinito. 
La funzione senx è finita in un intervallo qualsivoglia, mentre l’ altra ep, 
non è tale in un segmento che contiene il punto c. È chiaro che una funzione può 
andare all’infinito in un solo verso o in amendue. 
Detto c un punto interno ad ab e considerato l'intervallo Can EM, n es- 
sendo una quantità piccola quanto si vuole, potranno darsi due casi: 
1° la /(4) non esiste in questo tratto oppure esiste un numero limitato di volte, 
ed in allora il simbolo f(c) ha significato; 
2° si può assegnare un numero illimitato di punti nel medesimo in ciascuno dei 
quali ha luogo la dipendenza. 
Nella prima ipotesi il problema di studiare il modo di comportarsi della f(x) 
nel tratto c—m c+% o non ha senso, oppure non offre alcun interesse riducendosi 
alla considerazione del valore f(c); altrettanto non può dirsi nella seconda. In ciò 
che segue supporremmo sempre verificata l’ultima ipotesi quando studieremo il modo 
di comportarsi di una funzione nelle estreme vicinanze di un punto c. 
Ciò posto, se la data funzione si mantiene finita nel tratto 
conc+", diremo che è finita in c; se ciò non ha luogo, che va 
in esso all’infinito, o che in esso cresce oltre ogni limite, 0 
anche che ha un infinito in c. È chiaro come si debba modificare questa 
definizione quando il punto c cade in uno degli estremi a o bd. Se la f(@) ha un 
infinito in un punto dell'intervallo ab, essa potrà crescere oltre ogni misura in un verso 
o in amendue in un segmento arbitrariamente piccolo che lo contiene. 
Ha luogo il teorema: 
Se la f(x) non è finita nel tratto ab, si potrà assegnare al- 
meno un punto in esso nel quale cresce oltre ogni misura. 
Ed invero, si divida il segmento dato nelle parti eguali @1, 42, @3,..., Gn; in 
una di queste almeno la f(x) non è finita, sia essa 4. Col tratto a, si operi come 
con ab, e così di seguito indefinitamente; si tenderà in tal modo ad un punto c, nel 
quale la /(@) non è finita. Heil 
E chiaro che la f(x) può restar finita in uno dei due intervalli c—nc, cc+% 
anche se ha un infinito in c, come la funzione che è eguale a sen nel segmento 
