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ac ed a pdl imalio Ge=d È, SI può anche dire che l’ultima funzione cresce 
oltre ogni limite nel punto c+0, mentre si mantiene finita nell’altro c —0. 
2. Giova distinguere gli infiniti in due specie: in isolati e non isolati. 
Un infinito è isolato quando si può assegnare un intervallo 
cn c+n tale, che in esso la funzione resti finita trascurando i 
valori assunti dalla medesima nel tratto c—-%1 c+%1, 21 essendo 
minore di 9 e di quella piccolezza che si vuole, non isolato, se 
non può soddisfarsi a questa condizione; la funzione — ha un infinito 
% 
PI. aa È lo\as 
di prima specie nella origine, l’altra (sen > uno di seconda. 
Questa definizione va leggermente modificata seil punto cè inuno degli estremi di ab. 
Dimostriamo ora il teorema: 
Una funzione dotata di un infinito di seconda specie in c 
(a<c <=) ha un numero illimitato di infiniti nel segmento ab. 
Ed invero, supposto a <e<d, consideriamo il tratto c—mce+ 1 (0<41<n) 
tale, che in uno almeno dei segmenti c— c—m, c+ 1 c+n la f (2) non resti 
finita ed in cui cadrà, pel teorema che precede, almeno un infinito délla f(x). Quanto 
si è detto circa l’intervallo e— c-+- può ripetersi dell’altro c— 1 c+ 1, e così 
di seguito indefinitamente ; l’asserto è quindi dimostrato. Questo ragionamento va un 
po’ modificato se il punto c cade in @ o in d. 
Di conseguenza, se la f(x) ha un infinito non isolato nel punto c (Aa <c<)), 
si può assegnare almeno in uno dei tratti c—-%c, c+c una serie di infiniti 
%1, 2, tale, che sia lim a,=c. 
n= 92 
Gli infiniti 21, «2, ... potranno essere di necessità isolati oppure ciò non ha 
È 5 i; TN È 
luogo; valga ad esempio del primo caso la funzione (sen. , del secondo l’al- 
ill 
tra [sen (sen 2) | Der e = 
Havvi anche il teorema: 
Se la f(x) ha un numero illimitato di infiniti di prima spe- 
cie nell’intervallo ab, esso ha almeno un infinito non isolato nel 
medesimo. 
Questa proposizione si dimostra col metodo delle successive divisioni. 
Una funzione dei punti di un segmento ab può andare all’ infinito in ciascun 
punto del medesimo; così la funzione 
CARNI: 1 ‘ 1 
(2 = Js.—-— 3s-___+ 5 — 
q n $ i Gees i Ze =S 
pe q essendo primi tra loro. 
Per comprendere questo esempio si rammenti il teorema: 
