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non sin negativa in verun punto del tratto ab, mentre l’altra 
—1-(-1@)-:) 
| —f(@-l 
non è quindi mai positiva nell’ intervallo, e l’altra 
— [Male 
lo è almeno una volta. 
La differenza 
lo è almeno in un punto. 
La quantità L si dirà il limite superiore dei valori conseguiti 
dalla f(@) nel tratto ad, il limite inferiore, la differenza L—! 
la oscillazione della f(x) in ad. 
È manifesto che le quantità L ed / non esistono se la f (2) va all'infinito in 
ambo i versi, e che ne esiste una ogniqualvolta essa cresce oltre ogni limite in uno 
soltanto. 
2. La f(x) non raggiunge di necessità i valori L ed : una funzione, definita 
nei punti di ascissa incommensurabile del tratto 02 mediante una semicirconferenza 
avente i suoi estremi nei punti 02 e sita sovra l’ asse X, non raggiunge i valori li- 
miti zero ed uno. La funzione che ha per imagine la intera semicirconferenza con- 
segue i valori L ed /. 
È notevole il teorema: 
Si può sempre assegnare almeno un punto c in ad tale, che 
il limite superiore dei valori raggiunti dalla f(x) in un tratto 
arbitrariamente piccolo che lo contiene sia L. 
Il punto c può anche essere uno qualsivoglia dell’ intervallo ab; la funzione 
] ea 
f (È SAT) nel segmento 4 1, p e qg essendo primi tra loro, ha per limite su- 
periore lo zero in una parte qualunque del tratto considerato, nè mai lo raggiunge. 
Si può enunciare un teorema analogo al precedente rispetto al limite inferiore. 
I due punti dei quali si parla in questi teoremi non sono necessariamente distinti. 
Queste proposizioni si dimostrano col metodo delle successive divisioni. 
5. Funzioni dotate di un numero limitato di massimi e minimi nel segmento ab. 
1. La funzione f(x) si dice dotata di un numero limitato di 
massimi e minimi nel segmento ad, quando lo si può dividere 
in un numero assegnabile di parti, entro ciascuna delle quali 
la f(@) non è crescente e decrescente; se non può soddisfarsi a 
questa condizione si dice che la f(x) ha un numero illimitato 
di massimi e minimi nel tratto ad. 
Per tutta chiarezza osservo che, se una funzione non è decrescente o crescente 
nel tratto m-+0 n—0, non si ponno assegnare nel medesimo due punti. x1, 42 
(11 < %2) tali, che sia f (01) f(%2) rispettivamente. 
