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La funzione seux è di prima specie in un tratto qualsivoglia dell’ asse X, l’altra 
16” : SR 
sen — di seconda in un segmento contenente la origine. 
x 
2. Le funzioni dotate di un numero limitato di massimi e minimi hanno alcune 
proprietà che importa conoscere e delle quali ora ci occuperemo. 
Circa alle medesime Riemann osserva (‘): « Es ist nicht schwer zu be- 
weisen, dass der Werth einer Function /f, welche nicht unendlich 
viele Maxima und Minima hat, stets, sowohl wenn der Argument- 
werth abnehmend, als wenn er zunehmend gleich « wird, ent- 
weder festen Grenzwerthen /f(x+0) und f(e—0) sich nùàhern, oder 
unendlich gross werden miisse ». 
Per dimostrare questa asserzione premetto il teorema: 
Se 
UDUU DT. 
oppure 
U Su, Zur Zi... ) 
mentre la quantità v, non cresce oltre ogni limite con n, sarà: 
limu,=L, 
n=00 
L essendo una grandezza assegnabile. 
Questa proposizione è conseguenza delle ricerche del capitolo precedente. 
Ciò posto, divido il segmento ab in un numero limitato di parti per modo, che 
in ciascuna delle medesime la f(x) non sia crescente e decrescente. Scelgo poi un 
punto c nell’ interno di una di esse e considero nel tratto c+0 c+% una serie di punti 
io dg €99 0000 n @=@ 
n= 
tali, che i simboli 
f(ai), f(@2), f(23) 
abbino significato. 
Ora, se la f(x) non è costante nel segmento c+0 c+y, si ha 
fa)=f(@)=f(4) =... 
INESIOESIORIE 
Supposto, per fissare le idee, che si verifichi il primo caso, sarà: 
lim f(@)=M, 
n= 90 
oppure 
M essendo una quantità assegnabile. 
Detta 1, (2, (63,... un’altra serie di punti dello stesso intervallo che soddisfa. 
alle stesse condizioni della precedente, avremo: 
lim f(6)= Mi. 
n==00 
(4) Vedi p. 223. 
