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oscilla quindi al crescere indefinito di s tra due grandezze C e D (C =D) non ec- 
denti i limiti L, e 7,, essendo 
r r 
ls ls 
lim Sp 09 AO—Ty, limi 
SEX 1 SE=00. 1 
quale si sia la serie dei gruppi cui ci riferiamo. 
Le espressioni L, ed /, sono due funzioni definite in ciascun punto del segmento 
a-0b, le quali hanno una oscillazione nulla in ogni punto del tratto @ #0 è —0, 
e la oscillazione laterale destra in @ e la sinistra in d pure nulla. 
Apparterranno ad una stessa classe quelle funzioni alle quali 
corrispondono le medesime quantità L, ed /,. Il numero di queste fun- 
zioni è manifestamente illimitato e ciascuna di esse è finita. Le condizioni. perchè 
due funzioni f(4) ed Z(«) sieno della stessa classe sono quindi: 
, Ti 
lim Sb (AO BA) 0, dim So (a _29) GEO: 
SRO] SE0 ] 
Per definire una classe di funzioni basta dare una funzione finita di una successione 
continua del segmento ab. 
2. Giova distinguere due casi: L, > l,, oppure Ly:=},; nell’ ultimo caso la classe 
considerata si dice integrabile. Ciò posto, studiamo alcune proprietà comuni alle fun- 
zioni di una stessa classe nell’ ipotesi particolare che sia L=. 
Anzitutto si ha per definizione 
* d d 
f [de f da 0<IZb 
Questa eguaglianza può porsi anche nella forma 
[lrn nrn)eno 
a 
a 
quando le funzioni f(x) ed /(x) esistano in ogni punto di una stessa serie continua di ab. 
Si avverte facilmente che le funzioni 
9 (40); @z (+0), GE (0), YI) e d, 
appartengono alla stessa classe della f(x). Questa asserzione è subito posta in sodo 
quando si osservi che, se ci riferiamo al gruppo Gs (s=1,2,3,....) dotato della pro- 
prietà indicata nel paragrafo precedente, si può assegnare per s un valore s1 tale, 
che a partire da esso visulti piccola quanto si vuole la somma degli spazî, in cui la 
oscillazione massima della f(x) non è di quella piccolezza che si vuole. In ciascuno 
degli altri la funzione proposta ha un valore quasi costante, ed altrettanto ha quindi 
luogo in ciascun punto interno dei medesimi per ciascuna delle sei funzioni indicate. 
Ognuna delle quantità 9,(+9), 0:(+0), d(—0), 0.(—0) (a<c<) relative 
ad una funzione qualsivoglia della classe della /(@) può rappresentare una grandezza 
del tutto arbitraria per ogni valor ‘particolare c, poichè il valore di un integrale è 
indipendente dai valori assunti dalla funzione cui si riferisce in una serie tale di punti, 
