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è continua nel punto c, quando la sua oscillazione nel medesimo 
sia nulla; continua tra a e d, oppure nel tratto a+0 b—0, quando 
sia continua in ciascun punto del segmento a+0 db—0; come la fun- 
elet. 
dT-4 b_x ° . Ò 9 
zione e —-e . Per ùltimo, si dirà che la f(x) è continua tra a e bd, 
i limiti inclusi, oppure nel tratto ab, se, essendo soddisfatta 
l'ultima condizione, la f(@) tende convergendo al punto a+0 ad 
un valore che raggiunge in a, e se altrettanto ha luogo rispetto 
a Db. È poi manifesto ciò che vada inteso dicendo la /(x) è continua nel tratto a+0b, 
oppure nell’ altro ab—0. 
Se f(x) è una funzione definita in un punto qualsivoglia di un segmento ab, 
la quale ha una oscillazione nulla in ciascun punto di una successione continua del 
medesimo, non se ne potrà inferire che la sua oscillazione è nulla in ogni punto del 
tratto a--0 b—0. La funzione definita in ciascun punto di ascissa incommensura- 
bile del tratto 02 mediante le ordinate di una semicirconferenza descritta sul me- 
desimo come diametro, e negli altri per mezzo delle stesse ordinate aumentate o 
MEO Oi 3 1 i 
diminuite del valore corrispondente G° n essendo l’ascissa del punto considerato 
e p eq primi tra loro, ha una oscillazione nulla nei punti di ascissa irrazionale, 
non già negli altri. 
Ove però la data funzione fosse uniformemente continua in una serie continua 
del segmento a+-0 bD—0, essa sarebbe continua tra a e d, i limiti inclusi. 
Dico che una funzione è uniformemente continua in una suc- 
cessione continua P di un intervallo ab, quando si può assegnare 
una quantità tale, che la oscillazione della medesima non superi 
nel tratto c—nc+7 la grandezza arbitraria o, c essendo un punto 
qualsivoglia della serie P. 
Ora, è chiaro che nella fatta ipotesi io potrò dividere il segmento ab in parti 
per modo, che la oscillazione massima della funzione data sia in ciascuna delle me- 
desime di quella piccolezza che si vuole. 
2. Le funzioni continue tra a e b, i limiti inclusi, godono di proprietà veramente 
rimarchevoli delle quali ora ci occuperemo. 
Pertanto, dimostriamo il teorema: 
Una funzione f(a) continua nel segmento ab raggiunge un va- 
lore C al quale passa infinitamente vicino, in altre parole: se il li- 
mite inferiore dei valori assoluti della differenza f(x) — C è eguale 
a zero, la f(x) raggiunge almeno in un punto di ab il valore C. 
Infatti, si divida il segmento ab in un numero arbitrario di parti eguali 41, 
19,5... 74m, @ SÌ dicano &1, @,,...,n le liste di piano determinate dalle rette limiti 
corrispondenti a ciascuna delle medesime. È chiaro che la linea y= C non cadrà 
esternamente ad ognuna di queste liste, ma apparterrà almeno ad una delle mede- 
sime, sia questa &,. Il ragionamento fatto per l’intervallo ab si può ripetere pel 
segmento a,, e così di seguito indefinitamente. Si tenderà in tal modo ad un punto 
c, nel quale non sarà al certo f(c) 2 C. 
