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Questo teorema ha per corollario il seguente :. 
Una funzione continua nel segmento ab raggiunge il limite 
inferiore e superiore dei suoi valori. 
È notevole anche la proposizione: 
Una funzione continua nel tratto a+-0d—0, che raggiunge 
valori positivi e negativi, si annulla almeno in un punto del medesimo. 
Per ipotesi io posso segnare due punti c, dd interni ad ab in guisa, che sia 
f(c)>0O, f(@<0. 
A TRO 
Ciò posto, consideriamo la funzione + 7 (1 (2) continua nel segmento cd e di- 
ciamo o il suo limite inferiore nel medesimo. Il teorema risulta dimostrato quando 
si faccia vedere che o = 0. Ammettiamo per un momento che ciò non abbia luogo, 
ossia che o sia maggiore di zero. Diviso il segmento cdnelle parti eguali 41, 42, 43, ..-3 Gm 
è manifesto che la f(x) non potrà esser dello stesso segno in ciascuno dei medesimi, 
i limiti inclusi, chè, se ciò fosse, sarebbe sempre positiva o negativa nel tratto cd, 
perchè continua, contro l’ipotesi. Posso quindi assegnare un segmento a, nel quale 
la f(x) dà origine a delle ordinate poste sopra l’asse delle X e.ad altre site sotto allo 
stesso asse. Col tratto a, sì operi come col dato, e così di seguito indefinitamente; 
lezza che si vuole, la f(x) è positiva e negativa. Ma i valori positivi della /() non 
sono minori di @, nè i negativi > —o; laonde la f(x) sarebbe discontinua in e, 
la qual cosa essendo contraria all’ ipotesi o = 0. 
Come corollario si ha: 
Una funzione continua del segmento a+0 d—0 raggiunge un 
valore qualsivoglia C compreso tra i suoi valori limiti. 
Infatti la differenza f(x) — C è una funzione continua nel segmento @+0 d—0, 
che raggiunge nel medesimo valori positivi e negativi. | 
3. È degno di nota il teorema: 
Si può sempre assegnare una grandezza tale, che nel tratto 
c—g c+n la oscillazione della f(x) non ecceda la quantità arbi- 
traria c, essendo c un punto qualsivoglia del segmento ab nel 
quale la f(x) è continua. 
Ed invero, io non dovrò avvertire che la oscillazione della f(x) è inferiore a c 
in ab, per quanto sia piccola la quantità 7, chè, se ciò avesse luogo, la f(x) sarebbe 
ovunque costante, la qual cosa vogliamo supporre esclusa. A. partire da valore opportuno 
di o io potrò assegnare un tratto c—=g c+y nel quale la oscillazione della fw) è maggiore 
di o, ed un altro c—h c+’ in cui è minore, essendo a <c <d, ammesso per comodo 
che la f(x) esista al di qua di a e sia eguale ad f(a) ed al di là di d avendo il valore / (0). 
eg a 
