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Sieno or « e 8 i punti di mezzo dei due intervalli c—9g c—h, c+h c+g rispet- 
tivamente. Se la oscillazione della /((x) nel tratto «8 non è superiore a o dimezzo 
gli intervalli e—ga, Bc+9, altrimenti piglio i punti medî dei segmenti act—h, 
ch 8. Supposto, per fissare le idee, che abbia luogo il secondo caso, diciamo y e è 
i punti di mezzo accennati. Ora prendo i punti medî degli intervalli yct—h, c+hò, 
se la oscillazione della f(x) è maggiore di o nel segmento y0, se ciò non ha luogo, 
i punti di mezzo dei tratti 4) ,0. Procedendo in tal guisa indefinitamente, si ten- 
derà ad un intervallo c—, c+, che soddisfa alla condizione indicata ed in pari 
tempo è il massimo possibile. 
La quantità n, è quindi una funzione positiva definita in ciascun punto del 
tratto ab. Essa è continua negli stessi limiti; infatti, detto c, un punto del segmento 
‘+0 c+#q—0, sarà: 
È C+ ZI, È (TC), 
ossla 
a Moni (CO) NIETO) 
e perciò: 
MAM ME030 
Analogamente si dimostra la eguaglianza 
IL Mo op On, 
e poichè 9,= %, Se €==c, la funzione %, è continua in ab. Essa raggiunge quindi 
il suo limite inferiore, che non è lo zero, perchè la oscillazione della (x) è nulla per 
ogni valor particolare della x tale, che sia a <a <<b. 
Questo teorema equivale all’altro : ; 
Si può dividere il tratto ab in un numero limitato di parti 
in guisa, che la differenza tra due valori qualsivoglia assunti 
dalla f(x) in una delle medesime non superi la quantità positiva 
ed arbitraria co, quando la data funzione sia continua in ab. 
10. Sui dati sufficienti a definire una funzione continua. 
1. Una funzione qualsivoglia dei punti del tratto ab è nota soltanto quando si 
conosca il valore da essa assunto in uno qualunque dei punti pei quali ha luogo la 
dipendenza, e questo valore è del tutto arbitrario. Non si può dire la stessa cosa se 
la funzione considerata è continua, come risulta dalle ricerche seguenti. 
Una funzione continua tra @ e db, la quale assume un valore 
nullo in una successione continua di ab, è ovunque nulla. 
Ed invero, se fosse f(e) Z0(a<c<0), si potrebbe assegnare un tratto 
= c+q in ciascun punto del quale si avrebbe rispettivamentè /(x) = 0, la qual 
cosa non può aver luogo per la ipotesi fatta. 
Come corollario si ha: 
Due funzioni continue nel segmento a+0 b—0, che coincidono 
in una serie continua, sono ovunque eguali nel medesimo. 
Quindi: 
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